Sturm-Liouville問(wèn)題的譜分析與數(shù)值計(jì)算.pdf

1、本文圍繞常微分算子領(lǐng)域中的不同微分算子譜之間的關(guān)系、數(shù)值計(jì)算以及具有內(nèi)部不連續(xù)點(diǎn)的微分算子的譜分析等三個(gè)方面開(kāi)展研究工作. 不同微分算子譜之間的關(guān)系是Sturm-Liouville(S-L)理論中一類重要的問(wèn)題.對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)變號(hào)且具有分離邊界條件的S-L問(wèn)題,本文首次把幾何方法應(yīng)用到譜之間關(guān)系的研究中,通過(guò)兩個(gè)定型S-L問(wèn)題的特征值從“幾何”的角度來(lái)刻畫(huà)首項(xiàng)系數(shù)變號(hào)的S-L問(wèn)題的特征值,這一刻畫(huà)使得特征值的存在性、特征值的prü

2、fer角刻畫(huà)以及通過(guò)特征函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定相應(yīng)特征值的下標(biāo)等三個(gè)結(jié)論的證明更簡(jiǎn)潔.本文使用這一方法重點(diǎn)研究了首項(xiàng)系數(shù)變號(hào)的S-L問(wèn)題與兩個(gè)定型S-L問(wèn)題特征值之間的關(guān)系,給出了特征值之間的不等式,并利用該不等式得到了特征值的漸近公式.據(jù)我們所知,這些特征值不等式是全新的,這一工作提供了用簡(jiǎn)單問(wèn)題的譜去研究復(fù)雜問(wèn)題譜的新思想、新方法. 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題、邊界條件和轉(zhuǎn)移條件中有譜參數(shù)的S-L問(wèn)題以及非自共軛的S-L問(wèn)題是微分

3、算子譜理論中的若干新的重要問(wèn)題.Zettl等設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的SLEIGN2可以求解通常自共軛S-L問(wèn)題,對(duì)這些新問(wèn)題,目前還沒(méi)有較系統(tǒng)的軟件可以使用.本文利用上述諸問(wèn)題判別函數(shù)的性質(zhì)把求特征值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求λ復(fù)平面上一個(gè)給定區(qū)域(或區(qū)間)內(nèi)判別函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題.數(shù)值求解非線性顯函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題已經(jīng)被眾多學(xué)者所研究,但判別函數(shù)可能是λ的隱函數(shù),這給通過(guò)幅角原理進(jìn)行根的隔離帶來(lái)了一些困難.本文用統(tǒng)一的算法設(shè)計(jì)給出了特征值、特征值重?cái)?shù)以及特征函數(shù)的數(shù)值

4、解,并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行了分析.該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,思路清晰,為S-L問(wèn)題的數(shù)值求解提供了一個(gè)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的框架,不僅可以求解通常自共軛的問(wèn)題,也可以求解上述新問(wèn)題,即,不僅可以求解實(shí)特征值,也可以求解非實(shí)特征值.算法中滲透著并行計(jì)算的思想,很容易改寫(xiě)成并行計(jì)算程序.為了方便數(shù)值模擬,本文還給出根據(jù)給定的特征值和特征函數(shù)構(gòu)造S-L問(wèn)題的方法,通過(guò)該方法靈活地構(gòu)造了數(shù)值模擬中所需要的數(shù)值實(shí)例,這一工作在不連續(xù)S-L問(wèn)題特征函數(shù)振動(dòng)性的研究起到了十分重

5、要的作用.數(shù)值計(jì)算的另外一項(xiàng)工作：確定具有混合邊界條件的自共軛S-L問(wèn)題(二次項(xiàng)系數(shù)函數(shù)可以變號(hào))每一個(gè)給定特征值的下標(biāo).我們對(duì)下標(biāo)問(wèn)題進(jìn)行了理論分析,通過(guò)特征值的等值線以及混合邊界條件與分離邊界條件S-L問(wèn)題特征值之間的不等式,把計(jì)算具有混合邊界條件S-L問(wèn)題特征值的下標(biāo)轉(zhuǎn)化為計(jì)算具有相應(yīng)分離邊界條件S-L問(wèn)題特征值的下標(biāo),進(jìn)-步利用priifer角求出這個(gè)下標(biāo).本文建立了求解下標(biāo)問(wèn)題的算法,通過(guò)各具特色的數(shù)值實(shí)例展示了理論上已有的結(jié)

6、果并驗(yàn)證了算法的正確性和可行性. 文章還研究了不連續(xù)S-L問(wèn)題特征函數(shù)的振動(dòng)性和特征值的實(shí)性.通過(guò)我們?cè)O(shè)計(jì)的算法,給出數(shù)值實(shí)例并加以分析,研究特征函數(shù)的圖形,把第-個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)與其它每個(gè)特征函數(shù)在“內(nèi)部點(diǎn)”處的“跳躍狀態(tài)”之間的關(guān)系與特征函數(shù)的振動(dòng)特征聯(lián)系起來(lái),從對(duì)實(shí)例的“直接觀察”中分析并給出特征函數(shù)的振動(dòng)特征,隨之給出了振動(dòng)性的嚴(yán)格證明.通過(guò)解析解來(lái)研究問(wèn)題的思想是樸素的,但通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析研究特征函數(shù)的振動(dòng)特性,方法是

7、全新的.另外,對(duì)于一類邊界條件中帶有特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子,通過(guò)給出一個(gè)與問(wèn)題相關(guān)的新的算子,在一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g中證明它是自共軛的,并研究了其特征值的性質(zhì). 全文分為七章,第一章介紹了問(wèn)題提出的主要背景和本文的主要結(jié)果；第二章是不定和定型S-L問(wèn)題之間特征值不等式；第三章是正則S-L問(wèn)題特征值和特征函數(shù)的計(jì)算；第四章是自共軛S-L問(wèn)題的特征值下標(biāo)的確定；第五章是具有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件中帶有譜參數(shù)的S-L問(wèn)題特征值的性質(zhì)