Sturm-Liouville問題的譜分析與數(shù)值計算.pdf

1、本文圍繞常微分算子領(lǐng)域中的不同微分算子譜之間的關(guān)系、數(shù)值計算以及具有內(nèi)部不連續(xù)點的微分算子的譜分析等三個方面開展研究工作. 不同微分算子譜之間的關(guān)系是Sturm-Liouville(S-L)理論中一類重要的問題.對于首項系數(shù)變號且具有分離邊界條件的S-L問題,本文首次把幾何方法應(yīng)用到譜之間關(guān)系的研究中,通過兩個定型S-L問題的特征值從“幾何”的角度來刻畫首項系數(shù)變號的S-L問題的特征值,這一刻畫使得特征值的存在性、特征值的prü

2、fer角刻畫以及通過特征函數(shù)的零點個數(shù)確定相應(yīng)特征值的下標(biāo)等三個結(jié)論的證明更簡潔.本文使用這一方法重點研究了首項系數(shù)變號的S-L問題與兩個定型S-L問題特征值之間的關(guān)系,給出了特征值之間的不等式,并利用該不等式得到了特征值的漸近公式.據(jù)我們所知,這些特征值不等式是全新的,這一工作提供了用簡單問題的譜去研究復(fù)雜問題譜的新思想、新方法. 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問題、邊界條件和轉(zhuǎn)移條件中有譜參數(shù)的S-L問題以及非自共軛的S-L問題是微分

3、算子譜理論中的若干新的重要問題.Zettl等設(shè)計開發(fā)的SLEIGN2可以求解通常自共軛S-L問題,對這些新問題,目前還沒有較系統(tǒng)的軟件可以使用.本文利用上述諸問題判別函數(shù)的性質(zhì)把求特征值的問題轉(zhuǎn)化為求λ復(fù)平面上一個給定區(qū)域(或區(qū)間)內(nèi)判別函數(shù)零點的問題.數(shù)值求解非線性顯函數(shù)零點的問題已經(jīng)被眾多學(xué)者所研究,但判別函數(shù)可能是λ的隱函數(shù),這給通過幅角原理進(jìn)行根的隔離帶來了一些困難.本文用統(tǒng)一的算法設(shè)計給出了特征值、特征值重數(shù)以及特征函數(shù)的數(shù)值

4、解,并對模擬結(jié)果進(jìn)行了分析.該算法結(jié)構(gòu)簡單,思路清晰,為S-L問題的數(shù)值求解提供了一個相對標(biāo)準(zhǔn)的框架,不僅可以求解通常自共軛的問題,也可以求解上述新問題,即,不僅可以求解實特征值,也可以求解非實特征值.算法中滲透著并行計算的思想,很容易改寫成并行計算程序.為了方便數(shù)值模擬,本文還給出根據(jù)給定的特征值和特征函數(shù)構(gòu)造S-L問題的方法,通過該方法靈活地構(gòu)造了數(shù)值模擬中所需要的數(shù)值實例,這一工作在不連續(xù)S-L問題特征函數(shù)振動性的研究起到了十分重

5、要的作用.數(shù)值計算的另外一項工作：確定具有混合邊界條件的自共軛S-L問題(二次項系數(shù)函數(shù)可以變號)每一個給定特征值的下標(biāo).我們對下標(biāo)問題進(jìn)行了理論分析,通過特征值的等值線以及混合邊界條件與分離邊界條件S-L問題特征值之間的不等式,把計算具有混合邊界條件S-L問題特征值的下標(biāo)轉(zhuǎn)化為計算具有相應(yīng)分離邊界條件S-L問題特征值的下標(biāo),進(jìn)-步利用priifer角求出這個下標(biāo).本文建立了求解下標(biāo)問題的算法,通過各具特色的數(shù)值實例展示了理論上已有的結(jié)

6、果并驗證了算法的正確性和可行性. 文章還研究了不連續(xù)S-L問題特征函數(shù)的振動性和特征值的實性.通過我們設(shè)計的算法,給出數(shù)值實例并加以分析,研究特征函數(shù)的圖形,把第-個特征值所對應(yīng)的特征函數(shù)與其它每個特征函數(shù)在“內(nèi)部點”處的“跳躍狀態(tài)”之間的關(guān)系與特征函數(shù)的振動特征聯(lián)系起來,從對實例的“直接觀察”中分析并給出特征函數(shù)的振動特征,隨之給出了振動性的嚴(yán)格證明.通過解析解來研究問題的思想是樸素的,但通過數(shù)值實驗分析研究特征函數(shù)的振動特性,方法是

7、全新的.另外,對于一類邊界條件中帶有特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子,通過給出一個與問題相關(guān)的新的算子,在一個適當(dāng)?shù)目臻g中證明它是自共軛的,并研究了其特征值的性質(zhì). 全文分為七章,第一章介紹了問題提出的主要背景和本文的主要結(jié)果；第二章是不定和定型S-L問題之間特征值不等式；第三章是正則S-L問題特征值和特征函數(shù)的計算；第四章是自共軛S-L問題的特征值下標(biāo)的確定；第五章是具有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件中帶有譜參數(shù)的S-L問題特征值的性質(zhì)