具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子和具有點(diǎn)作用的Schr_dinger算子譜分析的研究.pdf

1、微分算子是線性算子中最基本的一類可閉的無界線性算子.在數(shù)學(xué)和物理及其他學(xué)科中，很多問題都可以歸結(jié)為一個(gè)確定的微分算子的問題，其中有些問題可轉(zhuǎn)化成在算子域內(nèi)具有不連續(xù)點(diǎn)的微分算子問題.本文主要圍繞具有不連續(xù)點(diǎn)的Sturm-Liouville(S-L)算子，即具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子展開研究;進(jìn)一步應(yīng)用具有轉(zhuǎn)移條件的奇異自共軛微分算子理論，討論具有點(diǎn)作用的Schr(o)dinger算子(the Schr(o)dinger operators

2、 with point interactions)，即勢(shì)函數(shù)為廣義函數(shù)的Schr(o)dinger算子，并給出具有點(diǎn)作用的Schr(o)dinger算子的譜分析.
　　本文運(yùn)用具有轉(zhuǎn)移條件的奇異自共軛微分算子理論，研究了具有點(diǎn)作用的Schr(o)dinger算子的譜理論，即勢(shì)函數(shù)為廣義函數(shù)的Schr(o)dinger算子的譜理論.分別討論了勢(shì)函數(shù)為Dirac函數(shù)δ、δ'函數(shù)的Schr(o)dinger算子，其中δ'函數(shù)為Dirac

3、函數(shù)δ在廣義函數(shù)意義下的導(dǎo)數(shù);把δ函數(shù)和δ'函數(shù)作用的點(diǎn)0看作不連續(xù)點(diǎn)，描述具有轉(zhuǎn)移條件的奇異微分算子的自共軛域，并給出了具有點(diǎn)作用的Schr(o)dinger算子與具有轉(zhuǎn)移條件的奇異自共軛微分算子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)用奇異自共軛微分算子的譜函數(shù)與Weyl函數(shù)之間的關(guān)系，得到具有轉(zhuǎn)移條件的奇異自共軛微分算子的譜，從而給出與之對(duì)應(yīng)的具有點(diǎn)作用的Schr(o)dinger算子的譜分析.
　　本文還研究了幾類具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子.首先

4、，研究了在相鄰的兩個(gè)區(qū)間[-1，0）和（0，1]上具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子.定義一個(gè)與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)聯(lián)的內(nèi)積，得到一個(gè)新的Hilbert空間，在新的Hilbert空間中研究具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子;得到參數(shù)λ為所考慮問題的特征值的充要條件，并給出特征值的單重性;構(gòu)造具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Green函數(shù)，通過Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開式證明了所考慮的具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Parse

5、val等式，即修正Parseval等式.
　　其次，考慮了不相鄰的兩個(gè)區(qū)間（a1，b1）和(a2,b2)上的S-L算子.由左區(qū)間的右端點(diǎn)與右區(qū)間的左端點(diǎn)之間的邊界條件構(gòu)成轉(zhuǎn)移條件，相應(yīng)的S-L問題變?yōu)榫哂修D(zhuǎn)移條件的S-L算子問題.構(gòu)造S-L方程滿足轉(zhuǎn)移條件及部分邊界條件的解;并應(yīng)用Titchmarsh所提出的關(guān)于初值問題解的展開方法，給出S-L方程的解的漸近式;利用解的漸近式得到具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的特征值及特征函數(shù)的漸近估計(jì)

6、;應(yīng)用具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開式證明了所考慮問題的Parseval等式.
　　最后，研究了在相鄰兩個(gè)區(qū)間[-1，0）和（0，1]上具有耦合型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子.定義與所考慮的具有耦合型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L問題相關(guān)的最大、最小算子及算子域;證明耦合型邊界條件中的系數(shù)矩陣滿足一定條件時(shí)，具有耦合型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子是自共軛的;構(gòu)造S-L方程的基本解，得到了確定具有耦合型邊界

7、條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的特征值的整函數(shù)，其零點(diǎn)是所考慮問題的特征值，并給出特征值單重的條件;證明了具有耦合型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開級(jí)數(shù)是絕對(duì)一致收斂的，進(jìn)而證明所考慮問題的Parseval等式.
　　本文共分六章:第一章為緒論部分，敘述本文中所考慮問題的背景和本文的主要結(jié)果;第二章介紹了本文中所用到的基本概念和引理;第三章運(yùn)用具有轉(zhuǎn)移條件的奇異自共軛微分算子的理論研究了具有點(diǎn)作用的Seh

8、r(o)dinger算子，進(jìn)一步討論了具有點(diǎn)作用的Sehr(o)dinger算子的譜分析;第四章研究了在相鄰的兩區(qū)間[-1，0）和(0，1]上的、邊界條件為分離型的具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子;第五章，考慮了在不相鄰的兩個(gè)區(qū)間(a1，b1)和(a2, b2)上的具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子;第六章研究了在相鄰的兩區(qū)間[-1，0）和(0，1]上的，邊界條件為耦合型的具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liou