關于Weidmann猜想及具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的研究.pdf

1、本文圍繞微分算子領域中的三個重要問題，即自共軛域、譜分析和具有轉(zhuǎn)移條件的微分算子開展研究．由于自共軛算子的譜是實的，為了研究與譜分析相關的算子的零空間和值域，由實參數(shù)解構(gòu)造的自共軛域的刻畫則顯得尤為重要，同時我們注意到：微分算子譜的離散性、虧指數(shù)以及微分方程Tu=λu(λ∈R)的實參數(shù)L<'2>-解空間的維數(shù)都僅僅是由微分算式的系數(shù)決定的，這三者之間應有相當緊密的聯(lián)系．1987年，Weidmann在其專著“Spectral theor

2、y of ordinary differential operators”[93]中就此提出了著名的猜想：“若對任意入∈(μ<,1>，μ<,2>)cR，方程(T-λ)u=0有‘充分多’的屬于L<'2>(a，6)的解，則(μ<,1>，μ<,2>)中沒有本質(zhì)譜”．本文在中間虧指數(shù)情形下研究了這些在微分算子領域中十分重要的問題，給出了由實參數(shù)L<'2>-解對自共軛域的完全刻畫，包括用實參數(shù)L<'2>-解構(gòu)造了分離的自共軛邊界條件．特別是當λ不

3、是特征值時，確定了Tu=λu的屬于L<'2>空間的實參數(shù)解初始條件所應具有的“標準”形態(tài)，據(jù)此構(gòu)造了具有分離邊界條件的自共軛算子A<,t>；并運用不等式估計和算子的強預解逼近證明了：若對任何λ∈(μ<,1>，μ<,2>)，方程Tu=λu的實參數(shù)L<'2>-解空間的維數(shù)等于虧指數(shù)時，最小算子To的任何自共軛擴張A在區(qū)間(μ<,1>，μ<,2>)中沒有連續(xù)譜；同時，通過對由兩組不同實參數(shù)解刻畫的自共軛域的結(jié)構(gòu)分析，證明了A的特征值在區(qū)間(μ

4、<,1>，μ<,2>)中是無處稠密的．本文的結(jié)果對Weidmann關于譜分布的猜想給出了一個很好的解答，揭示了實參數(shù)解的個數(shù)與連續(xù)譜存在性的內(nèi)在聯(lián)系。 文章還研究了一類為很多數(shù)學、物理工作者所關注的具有某種“不連續(xù)性”的微分算子，即內(nèi)部點處具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問題，包括它們的自共軛性、特征值以及特征函數(shù)系的完備性．我們用自共軛算子的定義直接證明了具有分離邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算

5、子是自共軛的；對于具有耦合邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子，我們將其放在一個與轉(zhuǎn)移條件相關的Hilbert空間中加以處理，引入了新的概念，即與轉(zhuǎn)移條件相關的最大、最小算子，并證明了它們是相互共軛的．運用微分算子的一般理論，給出了這類算子為自共軛的充要條件，構(gòu)造了確定特征值的整函數(shù)及其Green函數(shù)，證明了其特征函數(shù)系是完備的．應注意的是：本文給出的自共軛性判別準則，并不要求轉(zhuǎn)移條件本身是自共軛的，只要求轉(zhuǎn)移條件的系

6、數(shù)矩陣行列式為正數(shù)；進一步地，對于一類邊界條件中帶有特征參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的S—L算子，通過給出一個與問題相關的新的算子，在一個適當?shù)目臻g中證明它是自共軛的，并研究了其特征值與特征函數(shù)的性質(zhì)；最后我們把具有轉(zhuǎn)移條件的問題，抽象為一般的兩區(qū)間上定義的S—L問題，在一個新的帶有適當乘數(shù)參數(shù)的Hilbert空間框架下研究了定義在兩個區(qū)間上的S—L問題，給出了所有自共軛擴張的描述，且其關聯(lián)邊界條件的實耦合系數(shù)矩陣K的行列式可為任意正數(shù)。