廣義Wey1型李代數(shù)的量子化和廣義Block型李代數(shù)的偽有限表示.pdf

1、李代數(shù)主要是因研究無窮小變換的概念而引入的一個代數(shù)結(jié)構(gòu),特別是用于研究李群和微分流形等的幾何對象.眾所周知,李代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論和表示理論是李代數(shù)理論中的兩個最主要的課題.本論文主要研究了廣義Weyl型李代數(shù)的量子化和一類Block型李代數(shù)的最高權(quán)表示,以及Block型李代數(shù)的Z<'2>-階化的中間序列模的分類問題. 二十世紀(jì)八十年代,在對量子群的研究探討過程中,特別是對Yang-Baxter方程的研究中,李雙代數(shù)很自然地出現(xiàn)在人們面前.1

2、983年Drinfeld首次引入了李雙代數(shù)的概念并對其進(jìn)行研究.自此之后,關(guān)于這類既具有李代數(shù)結(jié)構(gòu)又具有李余代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)的文章陸續(xù)出現(xiàn).本論文的第一章主要討論了廣義Weyl型李代數(shù)的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu),證明了任意廣義Weyl型李代數(shù)上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)都是三角的,上邊沿的. 在對廣義Weyl 型李代數(shù)W上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中,考慮所有導(dǎo)子的集合Der(W,W W)與所有內(nèi)導(dǎo)子的集合 Inn.(W,W W)之間的關(guān)系.由于廣義Weyl型

3、李代數(shù)是非階化的(即非有限階化),且是非線性的(即它的結(jié)構(gòu)常數(shù)不是它的階化次數(shù)的線性函數(shù)),所以對所有導(dǎo)子的集合的計(jì)算十分煩瑣并且有很多的技巧在里面.通過計(jì)算我們得出所有導(dǎo)子的集合中沒有外導(dǎo)子,即它與內(nèi)導(dǎo)子的集合是相等的,再根據(jù)上同調(diào)的理論得知廣義Weyl型李代數(shù)的一階上同調(diào)群是平凡的,進(jìn)而得到廣義Weyl型李代數(shù)上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu). 在量子群的理論中,構(gòu)造李雙代數(shù)的量子化是產(chǎn)生新的量子群的一個十分重要且有效可行的方法,所以研究李

4、雙代數(shù)的重要目的之一就是對其進(jìn)行量子化.在本論文的第二章中,我們在第一章的主要結(jié)論的基礎(chǔ)上,構(gòu)造了廣義Weyl型李代數(shù)的量子化. 無限維李代數(shù)的表示是許多數(shù)學(xué)物理學(xué)家一直很感興趣的問題.1958年Block引入了一類無限維單李代數(shù).從此之后,許多人研究了廣義無限維Block型李代數(shù)(通常被稱為Block型李代數(shù)).由于Block型李代數(shù)與廣義Virasoro代數(shù)密切相關(guān),對這些代數(shù)(它們中有些被稱為Virasore.like代數(shù)

5、)的研究也引起越來越多的學(xué)者的注意.本論文第三章研究了一類Block型李代數(shù)的最高權(quán)表示,主要討論了這種類型的李代數(shù)上的Verma模,并完全確定了它們的不可約性.此外我們還得到不可約最高權(quán)B(Z)-模是偽有限的充分必要條件是它是某個Verma模的非平凡商模. 眾所周知, Cartan-型李代數(shù)歷史悠長但是它的表示理論卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠完善,所以為了對其表示理論有更深的理解很自然我們先要對特殊的Cartan-型李代數(shù)的表示進(jìn)行研究.200

6、4年蘇育才教授給出了一些Block型李代數(shù)的偽有限模即子空間是有限維并且是齊次的z-階化模的分類.特別,由于這些Block型李代數(shù)的z一階化齊次子空間本身是無限維的,所以得出齊次空間維數(shù)是一致有界的偽有限模都是平凡的.趙開明教授給出了四類Cartan-型李代數(shù)中的第一類Witt型李代數(shù)的權(quán)空間維數(shù)是一維的權(quán)模的分類.由于我們所要研究的是Block型李代數(shù),以上我們只列出了有關(guān)Cartan一型李代數(shù)的表示方面的幾篇文章(當(dāng)然還有很多我們沒