介質(zhì)導電率成像的反演問題及算法實現(xiàn).pdf

1、電阻抗成像(EIT，Electrical Impedance Tomography)是當今生物醫(yī)學工程領域的重大研究課題之一，數(shù)學上對應于一類經(jīng)典的橢圓型方程的系數(shù)反問題．傳統(tǒng)的EIT 技術由于僅利用了介質(zhì)外部的直接測量數(shù)據(jù)，得到的圖像的分辨率較低，很難滿足應用問題的需要．近年來發(fā)展起來的核磁共振成像技術(MREIT，Magnetic Resonance Electrical Impedance Tomography)是改進成像精度的一

2、個新的研究方向，它利用間接測量到的介質(zhì)內(nèi)部的磁場信息來反演介質(zhì)內(nèi)部的導電率，由此有望得到穩(wěn)定的高精度的成像結果。數(shù)學上而言，它是一類由橢圓型方程邊值問題解的內(nèi)部信息來反演方程的待定系數(shù)的新的反問題．由于利用了解在內(nèi)部的有關數(shù)據(jù)，而不僅是邊界數(shù)據(jù)，因此問題的不適定性有所減弱． 本文討論該反問題在一個具有明確醫(yī)學背景的模型上的算法-調(diào)和B<,z>算法的實現(xiàn)問題．該模型可以用下面的帶積分邊值條件的橢圓型方程定解問題來描述：在分析了算法

3、基本思想和引起算法不適定性的因素的基礎上，本文重點考慮了利用正則化方法處理該算法中擾動輸入數(shù)據(jù)的求導不適定性的問題，在此基礎上提出了B<,z>反演方法對擾動數(shù)據(jù)的數(shù)值實現(xiàn)．通過計算機模擬實驗驗證，取得了令人滿意的結果。 本文的工作包含了以下四個方面的內(nèi)容．首先，與目前已有的模型問題相比，我們討論了一個更為現(xiàn)實的模型，利用的是邊界電極上的總的輸入電流的強度，數(shù)學上這是一個帶有積分邊界條件的定解問題．其次，我們把此問題轉化為一個標準

4、的橢圓型方程混合邊值問題，自編了有限元程序得到了有效的正問題的數(shù)值解，實現(xiàn)了反演數(shù)據(jù)的模擬，同時也為B<,z>反演方法中方程的迭代求解提供了一個必要的工具．再次，我們考慮了利用擾動輸入數(shù)據(jù)B<,z>時，算法的穩(wěn)定實現(xiàn)問題．調(diào)和B<,z>反演方法中的關鍵一步是要對輸入數(shù)據(jù)進行Laplace運算．眾所周知要對擾動數(shù)據(jù)求數(shù)值微分是個不適定的問題，對此我們應用基于Tikhonove正則化方法的五次樣條函數(shù)的數(shù)值微分方法，提出了一個穩(wěn)定的數(shù)值求導