剛體朝向軌跡中四元數(shù)樣條曲線的研究.pdf

1、四元數(shù)理論是愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·盧云·哈密頓爵士于19世紀(jì)40-60年代創(chuàng)立，是復(fù)數(shù)在四維實(shí)空間的不可交換延伸，是有限維的實(shí)數(shù)結(jié)合除法代數(shù)，是Clifford代數(shù)的一個子代數(shù)。20世紀(jì)60年代末四元數(shù)開始在經(jīng)典力學(xué)中獲得實(shí)際應(yīng)用。1985年，Shoemake把四元數(shù)引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，從此四元數(shù)開始在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中、計(jì)算機(jī)動畫、計(jì)算機(jī)視覺和機(jī)器人等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。
　　本文將四元數(shù)方法與CAGD中樣條曲線尤其是B樣條曲線理論相結(jié)合，

2、以四元數(shù)球面線性插值、四元數(shù)旋轉(zhuǎn)表示等理論為基礎(chǔ)，輔以B樣條、廣義B樣條以及三角參數(shù)樣條等數(shù)學(xué)工具，對剛體朝向軌跡中四元數(shù)樣條曲線若干問題進(jìn)行了探究。主要工作及成果分為兩個部分:
　　第一部分是在B樣條及廣義B樣條曲線理論基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類廣義B樣條四元數(shù)曲線，分析了該類四元數(shù)樣條曲線的C2連續(xù)性、局部可控性等性質(zhì)。該類廣義B樣條四元數(shù)曲線不僅是Kim經(jīng)典B樣條四元數(shù)曲線的推廣，而且具有更高的連續(xù)性。同時，該類四元數(shù)樣條曲線也保持

3、了歐氏空間中樣條曲線許多微分性質(zhì)，并且可以選擇不同的核函數(shù)來獲得更多的形狀。
　　第二部分，由于生成光滑的剛體朝向插值曲線是計(jì)算機(jī)動畫中最基礎(chǔ)的問題，這一部分研究了單位四元數(shù)插值樣條曲線。由于四元數(shù)B樣條插值曲線和廣義B樣條插值曲線都要進(jìn)行控制頂點(diǎn)反求，導(dǎo)致需要求解多變量非線性方程組。為避免剛體朝向插值曲線中控制頂點(diǎn)反求復(fù)雜計(jì)算，提出了一個帶參數(shù)的C2連續(xù)四次三角插值樣條四元數(shù)曲線，分析了該曲線的C2連續(xù)性、局部形狀修改性等性質(zhì)，