隨機(jī)波動(dòng)方程的隨機(jī)吸引子和兩類(lèi)格點(diǎn)系統(tǒng)的全局吸引子.pdf

1、無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)在非線性科學(xué)中占有極為重要的地位。格點(diǎn)系統(tǒng)與非線性波動(dòng)方程是兩類(lèi)很重要的無(wú)窮維系統(tǒng)。吸引子(包括全局吸引子，隨機(jī)吸引子)是無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)研究的中心內(nèi)容之一。對(duì)吸引子的研究主要基于兩個(gè)方面，一是研究其存在性，第二是在其存在的前提下研究其幾何結(jié)構(gòu)，如Kolmogorov熵、維數(shù)、上半連續(xù)性等。本博士論文主要研究了隨機(jī)非線性波動(dòng)方程的隨機(jī)吸引子與一維的Klein-Gordon-Schr(o)dinger(KGS)無(wú)窮格點(diǎn)系統(tǒng)、高

2、維耗散的Zakharov無(wú)窮格點(diǎn)系統(tǒng)等兩類(lèi)無(wú)窮格點(diǎn)系統(tǒng)的全局吸引子。首先介紹了動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展歷史以及作者的主要工作。第二章簡(jiǎn)單介紹了與本論文相關(guān)的一些基礎(chǔ)知識(shí)、Sobolev空間與一些常用的不等式如Young不等式，H(o)lder不等式，Gronwall不等式. 本文的研究工作由兩部分組成。 第一部分內(nèi)容由第三、四章構(gòu)成.第三章證明了具白噪音的阻尼非線性波動(dòng)方程在Dirichlet邊值條件下生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引

3、子的存在性，并對(duì)它的Hausdorff維數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，得到了它的Hausdorff維數(shù)的一個(gè)上界。得到的Hausdorff維數(shù)的上界隨著阻尼的增大而減小且當(dāng)非線性項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)有界時(shí)，它一致有界。而且在這種情況下，隨機(jī)吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界恰好就等于它所對(duì)應(yīng)的確定系統(tǒng)的全局吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界。也就是說(shuō)在這種情況下白噪音對(duì)吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界沒(méi)有影響。但一般情況下，吸引子的維數(shù)的上界與白噪音項(xiàng)有關(guān)

4、。 第四章考慮了一個(gè)具白躁音的強(qiáng)阻尼sine-Gordon方程。通過(guò)引入加權(quán)范數(shù)與對(duì)關(guān)于時(shí)間為一階的發(fā)展方程所對(duì)應(yīng)線性算子的正性的分解，對(duì)由此方程生成的隨機(jī)吸引子Hausdorff維數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到了這個(gè)隨機(jī)吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界的一個(gè)估計(jì)。特別值得一提的是，此時(shí)得到的隨機(jī)吸引子的Hausdorff維數(shù)上界恰好等于它所對(duì)應(yīng)的確定性的sine-Gordon方程生成的全局吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界，也就是說(shuō)在

5、這種情況下白噪音對(duì)吸引子的Hausdorff維數(shù)的上界沒(méi)有影響。 第二部分由第五、六章構(gòu)成。本部分在R.Temma所構(gòu)建的無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)理論框架的基礎(chǔ)上，對(duì)一維KGS無(wú)窮格點(diǎn)系統(tǒng)與高維耗散的Zakharov無(wú)窮格點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了研究。通過(guò)引入加權(quán)內(nèi)積與新范數(shù)以及應(yīng)用“TailEnd”’建立了對(duì)方程解的一致估計(jì)，克服了無(wú)界區(qū)域內(nèi)Sobolev緊嵌入的缺乏而帶來(lái)的困難，分別證明了全局吸引子的存在性；在目前還無(wú)法找到有效的方法來(lái)估計(jì)格點(diǎn)系