波傳播的單位分解有限元法.pdf

1、彈性波傳播問(wèn)題的研究在許多科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如：通過(guò)研究彈性波傳播中的衍射現(xiàn)象來(lái)解釋和研究結(jié)構(gòu)中的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題；通過(guò)研究真實(shí)或人工地震產(chǎn)生的波動(dòng)以了解地球的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；通過(guò)研究地下間斷的反射波可以大概地知道可能含油的地層；對(duì)材料和結(jié)構(gòu)進(jìn)行無(wú)損探傷；在土木工程領(lǐng)域?qū)Φ鼗偷叵陆ㄖM(jìn)行強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)分析；在醫(yī)學(xué)上對(duì)人體物理信息探測(cè)所使用的最普遍的B超和CT等等都與彈性波傳播理論有著密切的關(guān)系。 有限單元法是求解波傳播問(wèn)題

2、的主要數(shù)值方法之一。雖然它有很多優(yōu)點(diǎn)，并成功地模擬了很多波傳播問(wèn)題，但同樣存在許多不足之處。事實(shí)上，Zienkiewicz把短波問(wèn)題的數(shù)值模擬視為有限元法尚未解決的兩個(gè)主要問(wèn)題之一。例如，為使結(jié)果達(dá)到可接受的程度，一般說(shuō)來(lái)低階的有限單元每個(gè)波長(zhǎng)需要至少布置10個(gè)節(jié)點(diǎn)。由此導(dǎo)致計(jì)算時(shí)需要的內(nèi)存較大，耗時(shí)較多，計(jì)算效率低下。并且，低階的有限單元有比較嚴(yán)重的頻散特性，高階的有限單元?jiǎng)t可能產(chǎn)生虛假的波動(dòng)。單位分解有限元法(PUFEM)是近十年來(lái)

3、發(fā)展起來(lái)的數(shù)值方法，它使得有限元插值空間中可以包含所求問(wèn)題解的已知解析信息。因此它可以勝任許多傳統(tǒng)有限元方法不能處理得很好或者需要非常大計(jì)算量的問(wèn)題。 該文首先回顧了PUFEM的理論基礎(chǔ)和現(xiàn)有工作，然后針對(duì)傳統(tǒng)有限元法模擬短波傳播問(wèn)題的嚴(yán)重局限性，利用PUFEM插值空間中可包含所求問(wèn)題解的己知信息的特點(diǎn)。 主要工作： 1.首次發(fā)展了一種用于瞬態(tài)彈性波傳播數(shù)值模擬的單位分解有限元模型，有限元空間由形成單位分解的標(biāo)準(zhǔn)

4、有限單元形函數(shù)乘以定義為局部子空間基函數(shù)的簡(jiǎn)諧振蕩形函數(shù)構(gòu)成。 2.針對(duì)PUFEM單元矩陣中的被積函數(shù)具有強(qiáng)烈的振蕩特性，應(yīng)用直角坐標(biāo)下的標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)和單元內(nèi)的波動(dòng)方向知識(shí)提出了一種新的單元矩陣解析積分方案。 3.將PUFEM應(yīng)用于反平面剪切波的傳播和散射問(wèn)題中。對(duì)已知波傳播方向時(shí)單位分解有限元如何選擇局部子空間中的波數(shù)k給出了建議。 4.在Zienkiewicz和Shiomi的用于高速動(dòng)力過(guò)程分析的飽和多孔

5、介質(zhì)廣義Biot理論u-U公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)和建立了基于PUFEM的飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力問(wèn)題的離散方程。 5.在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下，編制了用于二維波傳播數(shù)值模擬的PUFEM程序。數(shù)值例題顯示在相同精度下，PUFEM的計(jì)算效率明顯高于傳統(tǒng)的有限元法。解析積分在計(jì)算效率上也比高斯-勒讓德數(shù)值積分有大幅度的提高。 內(nèi)容安排： 第一章首先對(duì)有限差分法、偽譜法、有限元法、無(wú)限元法、邊界元法、譜單元法

6、和格子法等各種用于波傳播的數(shù)值方法做了簡(jiǎn)單的回顧，接下來(lái)著重介紹了以單位分解為基礎(chǔ)的PUFEM的發(fā)展歷程和最新進(jìn)展，然后簡(jiǎn)單介紹了飽和多孔介質(zhì)中的波傳播研究現(xiàn)狀。最后概述了該文的研究工作。 第二章介紹PUFEM的理論和應(yīng)用。通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)有限元法逼近特性的討論引入了PUFEM的概念，介紹了該方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，闡述了該方法與其它數(shù)值方法的關(guān)系，較詳細(xì)地介紹了該方法在裂紋模擬和波傳播方面的應(yīng)用。 第三章研究用于瞬態(tài)彈性波傳播數(shù)值模

7、擬的PUFEM模型。以往的PUFEM在波傳播方面的工作都是針對(duì)穩(wěn)態(tài)的標(biāo)量波動(dòng)問(wèn)題。這章首先構(gòu)造了用于瞬態(tài)波傳播的單位分解有限元形函數(shù)。此形函數(shù)的形式使得本模型可像普通有限元一樣簡(jiǎn)單地處理本征邊界條件。此形函數(shù)的局部子空間中，不僅平面波方向角θ是可以隨意增減的，而且波數(shù)k也可以根據(jù)需要選取多個(gè)。接下來(lái)對(duì)彈性動(dòng)力方程進(jìn)行了PUFEM離散，給出了主要公式，說(shuō)明了求解方程組的病態(tài)特性。最后給出了數(shù)值算例。 第四章研究PUFEM單元矩陣的

8、解析積分。PUFEM單元矩陣中的被積函數(shù)具有強(qiáng)烈的振蕩特性，而大部分現(xiàn)有的數(shù)值積分過(guò)程在計(jì)算效率和計(jì)算精度上都還不能令人滿意。這章應(yīng)用直角坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)和單元內(nèi)的波動(dòng)方向知識(shí)提出了一種新的單元矩陣解析積分方案，它對(duì)于平面三、四、六、八和九節(jié)點(diǎn)的直邊單位分解有限單元是完全解析的，而對(duì)于相應(yīng)的平面曲邊單元?jiǎng)t是半解析的。討論了標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)的構(gòu)成，證明了標(biāo)準(zhǔn)有限元形函數(shù)的存在性，給出了解析積分的具體實(shí)現(xiàn)辦法。最后的數(shù)值例題顯示所

9、提出的積分方案在計(jì)算效率上比高斯一勒讓德數(shù)值積分有大幅度的提高。 第五章研究PUFEM應(yīng)用于反平面剪切波的傳播和散射，以及如何合理地選擇局部子空間中的波數(shù)k。對(duì)反平面剪切波方程進(jìn)行了單位分解有限元離散，給出了形函數(shù)的形式。說(shuō)明了若在局部簡(jiǎn)諧形函數(shù)子空間中波動(dòng)方向θ取為已知方向，而選取多個(gè)波數(shù)k，可以很大程度地減小有效剛度矩陣的條件數(shù)，甚至消除它的病態(tài)現(xiàn)象。通過(guò)一維問(wèn)題對(duì)己知波傳播方向時(shí)PUFEM如何選擇局部子空間中的波數(shù)k進(jìn)行了

10、討論。指出采用多個(gè)波數(shù)的PUFEM不僅可以模擬特定波長(zhǎng)的簡(jiǎn)諧波傳播，而且也可以很好地模擬由不同波長(zhǎng)的簡(jiǎn)諧波迭加而成的復(fù)雜波。最后給出了數(shù)值例題。 第六章研究PUFEM模擬飽和多孔介質(zhì)中的瞬態(tài)波傳播問(wèn)題。首先給出了飽和多孔介質(zhì)的基本概念。接下來(lái)回顧了Zienkiewicz和Shiomi的用于高速動(dòng)力過(guò)程分析的飽和多孔介質(zhì)廣義Biot理論u-U公式。然后在該公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)和建立了基于PUFEM的飽和多孔介質(zhì)動(dòng)力問(wèn)題的離散方程，說(shuō)

11、明了方程中的相關(guān)參數(shù)。最后分別在不排水和排水條件下采用PUFEM對(duì)飽和多孔介質(zhì)中彈性波的傳播進(jìn)行了模擬。 第七章給出了二維波傳播數(shù)值模擬的PUFEM程序說(shuō)明。該文的程序是在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下編制的。在較少變動(dòng)原有程序結(jié)構(gòu)的情況下，利用現(xiàn)有的程序，通過(guò)修改和添加相應(yīng)的模塊實(shí)現(xiàn)了PUFEM對(duì)二維波傳播的數(shù)值模擬。這章給出了主要子程序說(shuō)明、程序流程圖和數(shù)據(jù)格式及說(shuō)明。 第八章總結(jié)全文，并展望進(jìn)一步的