Dirac-Nijenhuis結構.pdf

1、該文將推廣Poisson-Nijenhuis流形(PN流形)和予辛-Nijenhuis流形(ΩN流形)的概念,建立流形上的Dirac-Nijenhuis結構(DN結構)的概念,討論其性質,并把上述內容推廣到李雙代數胚上去.文中首先定義相容的Nijenhuis張量的概念和形變李雙代數胚的概念.在此基礎上,定義流形上的DN結構如下:設N1和N2是流形P上的相容的Nijenhuis張量,L是標準李雙代數胚(TP,T*P)上的Dirac結構,也

2、是由N=N1N2誘導的、(TP,T*P)的形變李雙代數胚((TP)′,T*P)上的Dirac結構.L1=(N1,N2)(L)亦然.則稱(L,N1,N2)為流形P上的Dirac-Nijenhuis結構,簡稱為DN結構.帶有DN結構(L,N1,N2)的流形P稱為Dirac-Nijenhuis流形,簡稱為DN流形.記為(P,L,N1,N2).利用Dirac結構的特征對和對偶特征對,我們將建立DN結構的兩個充要條件.這是本文的重要結論之一.我們

3、將給出了DN流形的幾個例子,并討論某些例子的性質.由此得出PN流形和ΩN流形均為DN流形之特例的結論.為研究DN流形的子流形,我們首先討論了Dirac流形的子流形.其次,證明了:流形上的DN結構在一定條件下,可以在子流形上自然誘導出一個DN結構,且對Dirac結構的形變和Dirac結構在子流形上誘導出新的Dirac結構這兩個手續(xù)可換.在討論Dirac流形約化的基礎上,我們證明了DN流形的約化定理.我們還將定義DN流形上的基本向量場,研究

4、其主要性質.這是以辛流形上的辛向量場、Poisson流形上的Poisson向量場和PN流形上的基本向量場為背景的.上述三種向量場的共同特征是它們各自保持相應的幾何結構.DN流形上的基本向量場做為上述三種向量場的類似物,它保持DN結構.但由于DN結構較為復雜,因而保持DN結構這一特點的表述也相應地比較復雜.做為例子,我們對DN流形的兩個例子(Poisson情形的DN流形和予辛情形的DN流形),得出了其上的基本向量場的全體.在此基礎上,我們

5、得到如下重要結論:PN流形的基本向量場空間和PN流形做為DN流形,其上的基本向量場空間,二者是重合的.另外,我們還對DN流形上的基本向量場和子流形上的基本向量場之間的關系以及DN流形上的基本向量場與約化DN流形上的基本向量場之間的關系進行了討論.在第三章的最后,我們將定義DN流形之間的DN映射,并給出了若干例子.DN映射的概念是辛映射、Poisson映射和Dirac映射的類似物,它是保持DN結構的C∞-映射.第四章是上一章工作的繼續(xù)和發(fā)

6、展.由于Dirac結構已被推廣到了李雙代數胚上,因而本文在流形上的DN結構的基礎上,把該概念也推廣到了李雙代數胚上,并討論了相應的性質.由于在一般李雙代數胚(A,A*)中,A*的李代數胚結構為非平凡的,因而DN結構從流形發(fā)展到李雙代數胚上時,具有一定的復雜性.我們得出了李雙代數胚上的DN結構的充要條件.然而,由于本章討論的基礎是李雙代數胚而非流形,因而已知條件弱于上一章.這導致本章的很多結論此上一章中的相應結論復雜.更重要的是,對于一個

7、李雙代數胚(A,A*)及A上的Nijenhuis張量N,用N形變A所得的形變李代數胚A'與A*不一定能構成一個李雙代數胚.因而在定義李雙代數胚(A,A*)上的DN結構時,需假定(A′,A*)是李雙代數胚.這是在討論DN流形時不曾遇到的新問題,也是第四章與第三章的一個明顯的不同點.因此,我們特別給出了(A′,A*)成為李雙代數胚的兩個充要條件.這兩個充要條件是分別從A′和A*之間的相容條件d*[X,Y]'=[d*X,Y]′+[X,d*Y]

8、′(X、Y∈T(A))和d'[α,β]*,[d'α,β*]*+[α,β*(α、β∈T(A*))出發(fā)得到的.因而這兩個充要條件在形式上是對偶的.但其證明的復雜性卻相去甚遠.原因是,A′為A的形變李代數胚,而A*卻未經形變,二者地位不等.如同DN流形的情形一樣,我們還給出了李雙代數胚上的DN結構的一些例子.最后,我們定義了李雙代數胚上的DN結構的基本截面的概念,說明了流形P上的DN結構(視為李雙代數胚(TP,T*P)上的DN結構)的基本截面