雙隨機(jī)矩陣和雙隨機(jī)循環(huán)矩陣的素元研究.pdf

1、眾所周知，在矩陣?yán)碚摵途仃囉嬎阒?，矩陣的分解問題是非常重要的問題。當(dāng)我們有了一個(類)矩陣的某種分解，我們對這個(類)矩陣肯定會有更多的了解，更有利于我們的分析和計算。另一方面，矩陣的分解在實際中也有重要的應(yīng)用。例如，非負(fù)矩陣的分解在信號處理、組合優(yōu)化、復(fù)雜性理論、概率論和人口統(tǒng)計學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有重要的應(yīng)用。 本文研究的是非負(fù)矩陣中的素元。這一方面是為研究非負(fù)矩陣分解的需要；另一方面，在實際中也有重要的應(yīng)用。例如，在系統(tǒng)與控制論

2、中的有限值過程的隨機(jī)實現(xiàn)問題、隱藏Markov模型的實現(xiàn)問題、一個有限隨機(jī)系統(tǒng)的實現(xiàn)問題和一個正線性系統(tǒng)(投入、狀態(tài)和產(chǎn)出都取正值)的實現(xiàn)問題等等(上述實現(xiàn)問題中的主要問題是刻劃系統(tǒng)的極小性，最后可把問題歸結(jié)為正線性代數(shù)中的一類問題，即非負(fù)矩陣中素元的分類問題)。 本文主要研究了雙隨機(jī)矩陣和雙隨機(jī)循環(huán)矩陣中的素元。因為任一n階雙隨機(jī)循環(huán)矩陣都可以唯一地表示為移位的n-1次一元多項式和任一n階雙隨機(jī)矩陣都可以表示為置換矩陣的凸和，

3、從而可把雙隨機(jī)循環(huán)矩陣中素元的分類問題簡化為解雙隨機(jī)循環(huán)矩陣上的一個方程的問題，把雙隨機(jī)矩陣中素元的分類問題簡化為解雙隨機(jī)拉丁方上的一個方程的問題. 本文第一章，我們將簡單介紹研究非負(fù)矩陣中素元的理論和實際意義和素矩陣的研究現(xiàn)狀.同時也將給出與本論文有關(guān)的幾類非負(fù)矩陣和幾類半環(huán)中素元的定義和關(guān)系，以及有關(guān)的Hurwitz多項式的一些結(jié)果。 第二章，主要研究了判別對應(yīng)向量的正元素全部相鄰的雙隨機(jī)循環(huán)矩陣是否為素元的方法，研

4、究了Picci G.等在文[47]中所提出的如下問題和猜想： 問題A 設(shè)A=circ(a)∈DSCm×n+，4