關(guān)于隨機(jī)矩陣普適性的若干研究.pdf

1、本文主要研究了一些隨機(jī)矩陣的普適性極限定理。所謂普適性也就是這些極限性質(zhì)只與矩陣的結(jié)構(gòu)有關(guān)系，而與矩陣元素的具體分布無(wú)關(guān)（大多數(shù)時(shí)候與矩條件有關(guān)）。本文主要研究了四個(gè)問(wèn)題。分別是樣本相關(guān)系數(shù)陣最大最小特征值的極限分布，Wigner矩陣部分線性譜統(tǒng)計(jì)量的高斯波動(dòng)性，隨機(jī)行列式的極限分布以及一個(gè)Wigner矩陣特征向量統(tǒng)計(jì)量的極限定理。
　　第一章主要是本文的一些背景以及預(yù)備知識(shí)的介紹。
　　第二章我們討論樣本相關(guān)系數(shù)陣最大最小

2、特征值的極限性質(zhì)。設(shè)W=YYT為一個(gè)樣本相關(guān)系數(shù)陣，其中Y=(yij)p,n的元素為yij=xij/√Σnj=1x2ij。我們?cè)O(shè){xij(:)1≤i≤p，1≤j≤n}為一族具有對(duì)稱分布且有次指數(shù)尾部的獨(dú)立隨機(jī)變量。進(jìn)一步地，對(duì)任意i，我們假設(shè)xij，1≤j≤n是同分布的。我們考慮0＜p＜n且當(dāng)p，n→∞時(shí)對(duì)某個(gè)y∈(0，1)存在p/n→y的情形。在這一章中，我們將證明經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)囊?guī)范化，W的最大和最小特征值依分布收斂到Tracy-Wido

3、m分布（TW1）。更進(jìn)一步地，如果xij是i.i.d.的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們還證明了對(duì)矩陣R=RRT也存在同樣結(jié)果。其中R=(rij)p，n的元素為rij=（xij-(x)i）/√nj=1(xij-(x)i)2，(x)i=n-1∑nji1 xij。
　　第三章我們的主要研究對(duì)象是復(fù)的Wigner矩陣Mn=1/√nWn，規(guī)范化后其特征值主要落在區(qū)間[-2，2]內(nèi)。設(shè)λ1≤λ2…≤λn為Mn的特征值。假設(shè)該Wigner矩陣中的元素的前四

4、階矩與高斯酉系綜(GUE)的相同。對(duì)于在一個(gè)包含[-2，2]的開(kāi)區(qū)間上四次連續(xù)可微的函數(shù)f，我們對(duì)兩類特征值的部分線性統(tǒng)計(jì)量建立了中心極限定理。第一類由落在Wigner半圓律主體區(qū)間里的臨界值u來(lái)定義，為A[f;u]=∑nl=1f(λl)1{λl≤u}。第二類則為βn[f;k]=Σk=1 f(λl)，其中參數(shù)k=kn為正整數(shù)，且當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)有k/n→y∈(0，1)。進(jìn)一步地，我們由βB[f;([)nt」]構(gòu)造了一個(gè)部分和過(guò)程并得到了它

5、的弱收斂性質(zhì)。主要的困難是處理由具有一些不可導(dǎo)點(diǎn)的檢驗(yàn)函數(shù)定義的線性譜統(tǒng)計(jì)量。我們的主要策略是結(jié)合Helffer-Sj(o)strand公式以及一個(gè)關(guān)于格林函數(shù)的比較過(guò)程把GUE情形的結(jié)論推廣到一般的Wigner矩陣情形。另外，關(guān)于An[f;u]，我們也討論了實(shí)Wigner矩陣的情形。
　　第四章我們考慮隨機(jī)方陣An=(aij)n，n，其中{aij=:a(n)ij，i，j=1，…，n}是一族獨(dú)立的均值為零方差為1的實(shí)隨機(jī)變量。在假

6、設(shè)sup n max1≤i,j≤n Ea4ij＜∞，下，我們證明以下Girk的行列式det An的對(duì)數(shù)律:當(dāng)n→∞時(shí)，有l(wèi)og(|detAn|)-1/2log(n-1)!/√1/2 log n d→ N(0,1).
　　第五章我們考慮一個(gè)特征向量的普適性問(wèn)題。設(shè)Mn為一個(gè)n×n實(shí)（或復(fù)）Wigner矩陣，而UnΛnU*n為其譜分解。令(y1，y2…，yn)T=U*nx，其中x=（x1，x2，…，xn）T是一個(gè)實(shí)（或復(fù)）的單位向量。