Schur穩(wěn)定多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性.pdf

1、多項(xiàng)式或序列的對(duì)數(shù)凹性是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題。在組合、代數(shù)、幾何、分析、概率及統(tǒng)計(jì)、控制論等數(shù)學(xué)分支中出現(xiàn)的很多有意義的多項(xiàng)式和序列往往都具有對(duì)數(shù)凹性。本文主要研究與線性系統(tǒng)穩(wěn)定性相關(guān)的對(duì)數(shù)凹性。系統(tǒng)穩(wěn)定性是控制論中古老的研究課題,在數(shù)學(xué)歷史上占有重要地位。19世紀(jì)中期,JamesC.Maxwell發(fā)現(xiàn)線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用數(shù)學(xué)模型微分方程的特征多項(xiàng)式判定。目前,已有的一些線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)都與特征多項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)數(shù)凹性相關(guān)

2、。
　　 首先,利用RichardP.Stanley關(guān)于多項(xiàng)式根的分布與其系數(shù)對(duì)數(shù)凹性的關(guān)系,我們給出了實(shí)系數(shù)(最高項(xiàng)系數(shù)為正)Schur穩(wěn)定多項(xiàng)式平移后具有對(duì)數(shù)凹性的充分條件。利用多項(xiàng)式Hurwitz穩(wěn)定的必要條件,我們還得到了關(guān)于實(shí)系數(shù)Schur穩(wěn)定多項(xiàng)式平移后系數(shù)的嚴(yán)格對(duì)數(shù)凹性。
　　 其次,我們研究了關(guān)于非負(fù)遞增系數(shù)多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性。由著名的Enestr(o)m-Kakeya定理,非負(fù)遞增系數(shù)多項(xiàng)式必然是Schu

3、r穩(wěn)定的。保持非負(fù)遞增系數(shù)多項(xiàng)式的系數(shù)不變,通過(guò)適當(dāng)?shù)幕儞Q,我們得到了一類(lèi)對(duì)數(shù)凹的多項(xiàng)式,從而統(tǒng)一地證明了Abel多項(xiàng)式和r-Stirling數(shù)的對(duì)數(shù)凹性。
　　 最后,我們探討了關(guān)于非負(fù)遞增系數(shù)多項(xiàng)式的比率單調(diào)性。序列或多項(xiàng)式的比率單調(diào)性是由陳永川和夏先偉在研究Boros-Moll多項(xiàng)式時(shí)提出的,它是一個(gè)比對(duì)數(shù)凹性更強(qiáng)的性質(zhì)。Boros-Moll多項(xiàng)式是由GeorgeBoros和VictorH.Moll在研究四次積分時(shí)提出的