組合多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì).pdf

1、本研究是關(guān)于組合多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)凹性質(zhì)及其相關(guān)問(wèn)題的探討,包括一類多項(xiàng)式的系數(shù)是否為極限分布的判定方法,多項(xiàng)式的系數(shù)的平衡性質(zhì),多項(xiàng)式的系數(shù)的對(duì)數(shù)凹和對(duì)數(shù)凸性質(zhì),一系列多項(xiàng)式的系數(shù)的交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹性質(zhì)和一系列多項(xiàng)式的q對(duì)數(shù)凹和口對(duì)數(shù)凸性質(zhì)。本研究分為五個(gè)部分：
　　 第一章,給出了多項(xiàng)式組合性質(zhì)的一些背景,并介紹了本論文中用到的定義和記號(hào)。同時(shí)還介紹了一些關(guān)于多項(xiàng)式組合性質(zhì)的重要的經(jīng)典定理。
　　 第二章,首先對(duì)于與貝努力數(shù)有關(guān)

2、的的一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)和做了估計(jì)。然后利用這個(gè)估計(jì),通過(guò)計(jì)算q-卡塔蘭數(shù)的對(duì)數(shù)鉅量生成函數(shù)推出q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)具有漸近的正態(tài)分布。進(jìn)而,利用這個(gè)方法得到了一個(gè)判斷一類多項(xiàng)式的系數(shù)是否為漸近正態(tài)分布的結(jié)果。利用這個(gè)結(jié)果,可以得到一般化的q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)和另一種q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)都具有漸近正態(tài)分布。此外,我們還研究了q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)的對(duì)數(shù)凹的性質(zhì),并猜想當(dāng)n充分大時(shí),q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)除去前面和后面一些項(xiàng)是對(duì)數(shù)凹的。進(jìn)而,基于Bóna對(duì)于排

3、列的圈數(shù)的平衡性質(zhì)的研究,推出了q-卡塔蘭數(shù)的系數(shù)也具有相同的平衡性質(zhì)。最后,我們運(yùn)用詹森依賴標(biāo)準(zhǔn)證明了[n]的隨機(jī)排列中,包含k長(zhǎng)的交替子排列的個(gè)數(shù)具有漸近正態(tài)分布。
　　 第三章,通過(guò)對(duì)n維立方體的平衡2-染色做了一個(gè)細(xì)化,利用雙射找到了具有2k個(gè)黑點(diǎn)和具有2k+2個(gè)黑點(diǎn)的n維立方體的平衡2-染色的個(gè)數(shù)的關(guān)系。并利用這個(gè)公式證明了Palmer,Read和Robinson[90]關(guān)于n維歐幾里得空間的立方體的平衡2-染色個(gè)數(shù)的

4、單峰性的一個(gè)猜想。進(jìn)而,我們提出了當(dāng)k固定時(shí),n維立方體具有2k個(gè)黑點(diǎn)的平衡2-染色的個(gè)數(shù)具有對(duì)數(shù)凹的性質(zhì)。利用概率方法,我們得到這個(gè)猜想在n充分大的時(shí)候成立。
　　 第四章,首先定義了交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹性質(zhì),它是對(duì)數(shù)凹性質(zhì)的一個(gè)一般化。然后,利用Boros-Moll多項(xiàng)式的四個(gè)遞推公式推出了關(guān)于Boros-Moll多項(xiàng)式的系數(shù)的一些不等式.利用這些不等式,證明了Boros-Moll多項(xiàng)式具有交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹的性質(zhì)。進(jìn)而,對(duì)于滿足三角遞推關(guān)系

5、的數(shù)列我們給出了它具有交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹性質(zhì)的一個(gè)充分條件。利用這個(gè)充分條件,我們可以得到很多組合序列具有交錯(cuò)對(duì)數(shù)凹的性質(zhì)。
　　 第五章,借助對(duì)稱函數(shù)的工具研究多項(xiàng)式的對(duì)數(shù)性質(zhì)。利用舒爾正定和舒爾函數(shù)的主要特征,證明了劉麗和王毅[77]關(guān)于Narayana,多項(xiàng)式的q-對(duì)數(shù)凸性質(zhì)的兩個(gè)猜想。本章開始先介紹Br(a)ndén的工作,他把q-Narayana數(shù)表示成一類特殊的舒爾函數(shù).通過(guò)建立幾個(gè)對(duì)稱函數(shù)恒等式,我們獲得了Narayana