統(tǒng)一模分配性.pdf

1、把一組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換/合并成一個(gè)可表示值的過程稱之為聚合，并稱實(shí)現(xiàn)此過程的算子為聚合算子。聚合應(yīng)用于需要聚合專家意見或綜合判斷的領(lǐng)域，如決策、統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)計(jì)量等領(lǐng)域。至今，已有大量文獻(xiàn)研究聚合問題。這類問題的一個(gè)共同特征是，實(shí)現(xiàn)聚合過程的聚合算子滿足一定的函數(shù)方程系統(tǒng)，而所滿足的具體函數(shù)方程系統(tǒng)則與聚合算子的應(yīng)用領(lǐng)域密切相關(guān)。如，在多屬性決策中，若所有屬性的滿意度均為某個(gè)常值，則整體的滿意度也應(yīng)為這個(gè)常值。事實(shí)上，滿足上述性質(zhì)的聚合算子須滿足冪

2、等性方程，即，若干個(gè)相同元素的聚合值仍為該元素。
　　現(xiàn)今，存在諸多不同種類的聚合算子，如何選取適當(dāng)?shù)木酆纤阕尤Q于其應(yīng)用背景，不同的應(yīng)用背景須不同的聚合算子。按其行為、功能的不同，聚合算子可分為四類:合取型聚合算子，以三角模，簡稱t-模為代表;析取型聚合算子，以三角余模，簡稱t-余模為代表;平均型聚合算子，以O(shè)WA算子、積分算子為代表;混合型聚合算子，以統(tǒng)一模和零模（又稱t-算子）為代表?；旌闲途酆纤阕右话慵婢吆先⌒?、析取型和平

3、均型聚合算子特征，是一類有廣泛應(yīng)用的聚合算子。作為混合型聚合算子代表的統(tǒng)一模，具有良好的性能，其模型解釋為:聚合存在閾值，在數(shù)學(xué)上，此閾值可稱為單位元或中立元，其含義是:讓其他輸入決定輸出，此輸入與輸出無關(guān)。當(dāng)所有的輸入小于此閾值時(shí)，此時(shí)聚合為合取型;當(dāng)所有輸入大于閾值時(shí)，此時(shí)聚合為析取型;若閾值介于某兩個(gè)輸入之間，則此時(shí)聚合為平均型。從代數(shù)角度講，三角模和三角余模是定義在單位區(qū)間上分別以1，0為單位元的阿貝爾序半群，而統(tǒng)一模是定義在單

4、位區(qū)間上以任意給定正常數(shù)為單位元的阿貝爾序半群。從應(yīng)用角度而言，統(tǒng)一模可應(yīng)用于信息聚合，專家系統(tǒng)，神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，模糊系統(tǒng)模型，偽分析和測(cè)度論，模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，模糊集和模糊邏輯，近似推理等領(lǐng)域。統(tǒng)一模不是合取的，便是析取的。因此它能應(yīng)用于模糊集理論及模糊邏輯中。故，在邏輯聯(lián)結(jié)詞的背景下，統(tǒng)一模這一邏輯聯(lián)結(jié)詞被廣泛研究。由于統(tǒng)一模在實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，從理論角度研究統(tǒng)一模是有意義的，且是必須的。其中，理論研究的一個(gè)主題是，刻畫具有一定性質(zhì)的統(tǒng)一

5、模，給出其結(jié)構(gòu)特征。而至于統(tǒng)一模要滿足何種性質(zhì)則與其應(yīng)用領(lǐng)域相關(guān)。如前文所述，研究具有一定性質(zhì)的聚合算子通常轉(zhuǎn)化為求解相關(guān)的函數(shù)方程，如冪等性、模態(tài)性、Frank與Alsina方程、遷移性、分配性等等。因此，不須區(qū)分性質(zhì)和相應(yīng)的函數(shù)方程。
　　兩個(gè)算子之間分配性有著悠久的研究歷史，如:在環(huán)中，乘法關(guān)于加法分配;在格中，乘法關(guān)于并分配。分配性適用的領(lǐng)域可歸納如下:某一領(lǐng)域中有兩種不同的行為，此兩種行為可用兩個(gè)聚合模型來解釋且此兩個(gè)聚

6、合模型之間關(guān)聯(lián)假設(shè)為分配性，如模糊邏輯中的邏輯“且”和邏輯“或”;偽分析中的偽加和偽乘;效用論中的博弈和聯(lián)合接受度;心理物理學(xué)中的感覺強(qiáng)度和刺激強(qiáng)度等等。
　　本文將研究統(tǒng)一模分配性，實(shí)質(zhì)上是尋求分配性方程的統(tǒng)一模解。統(tǒng)一模僅要求滿足四條公理，即，交換性，結(jié)合性，單調(diào)性及有單位元。故，對(duì)一般統(tǒng)一模而言，無良好的結(jié)構(gòu)特征。事實(shí)上，也無法刻畫其結(jié)構(gòu)特征。然而，通過附加額外的條件，可得到五類結(jié)構(gòu)特征良好的統(tǒng)一模，即，Umax和Umin類

7、統(tǒng)一模，冪等統(tǒng)一模，可表示統(tǒng)一模，單位開區(qū)間上連續(xù)統(tǒng)一模及局部內(nèi)統(tǒng)一模。上述五類統(tǒng)一模的結(jié)構(gòu)特征已經(jīng)被完全刻畫。現(xiàn)有關(guān)于統(tǒng)一模分配性的研究僅涉及上述五類常見統(tǒng)一模。其主要思路是利用此五類常見統(tǒng)一模的良好結(jié)構(gòu)特征來進(jìn)一步確定滿足分配性方程的充分必要條件，換言之，利用此五類常見統(tǒng)一模的良好結(jié)構(gòu)特征來進(jìn)一步確定滿足分配性所需的結(jié)構(gòu)特征。因此，若統(tǒng)一模不屬于上述五類具有良好結(jié)構(gòu)特征的統(tǒng)一模，則上述方法失效，即對(duì)一般無良好結(jié)構(gòu)特征的統(tǒng)一模，上述方

8、法失效。盡管五類常見統(tǒng)一模具有良好的結(jié)構(gòu)特征且已被完全刻畫，但關(guān)于五類常見統(tǒng)一模分配性的研究亦不完善，缺乏系統(tǒng)性的研究，僅有一些零散的結(jié)論。五類常見統(tǒng)一模僅占統(tǒng)一模的極小一部分，事實(shí)上，五類常見統(tǒng)一模均是邊界局部內(nèi)的。文獻(xiàn)中已出現(xiàn)非邊界局部內(nèi)統(tǒng)一模，但未被系統(tǒng)的研究且其結(jié)構(gòu)特征亦未知。本文將采用一些新的研究方法與研究技術(shù)來求分配性方程的一般統(tǒng)一模解，即不再要求分配性方程中的兩個(gè)統(tǒng)一模均屬于五類常見統(tǒng)一模。在統(tǒng)一模定義的四條公理中，有單位

9、元是一條重要的公理。當(dāng)兩個(gè)統(tǒng)一模有相同的單位元時(shí)，分配性方程變得十分特殊，其所有統(tǒng)一模解可被完全刻畫。此為本文解決的第一個(gè)問題（詳見第二章）。當(dāng)單位元不同時(shí)，情況十分復(fù)雜，完全刻畫分配性方程所有統(tǒng)一模解十分困難。本文在將在一個(gè)較弱的條件，即在其中一個(gè)統(tǒng)一模屬于五類常見統(tǒng)一模條件下求解分配性方程的統(tǒng)一模解。此研究思路可分為兩個(gè)平行的部分，即，常見統(tǒng)一模關(guān)于一般統(tǒng)一模分配性（詳見第三章）和一般統(tǒng)一模關(guān)于常見統(tǒng)一模（詳見第四章）。此為本文解決