帶衰退記憶的方程整體解的長時間動力學行為.pdf

1、在這篇論文中，通過運用無窮維動力系統(tǒng)關(guān)于吸引子理論的最新研究成果并且結(jié)合一些能量估計技巧，我們研究了兩類方程：具有衰退記憶的非經(jīng)典擴散方程和具有衰退記憶的半線性熱方程，我們對其弱解和強解的長時間動力學行為進行了深入的討論，并且證明了以上方程對應(yīng)動力系統(tǒng)的全局吸引子或一致吸引子的存在性。 首先，我們研究了在自治外力項作用下具有衰退記憶的非經(jīng)典擴散方程ut-△ut-△u-∫∞0 k(s)△u(t-s)ds=∫(u)+g(x).當非線

2、性項，∫(u)滿足臨界指數(shù)增長，以及外力項g僅屬于空間H-1(Ω)或L2(Ω)時，通過應(yīng)用半群分解技術(shù)和緊性轉(zhuǎn)移定理來克服證明過程中存在的許多實質(zhì)性困難，最終獲得了方程的全局吸引子在弱拓撲空間和強拓撲空間的存在性結(jié)果(見定理3.2.9和定理3.3.8).繼而，我們研究了在非自治外力項作用下具有衰退記憶的非經(jīng)典擴散方程ut-△ut-△u-∫∞0k(s)△u(t-s)ds=∫(u)+g(x，t).當非線性項，(u)滿足臨界指數(shù)增長，以及符號

3、空間僅為L2b(R；L2(Ω))或L2b(R；H10(Ω)(而非平移緊)時，通過分解解過程，來進行解的漸近正則性估計，從而得到了方程在弱拓撲空間和強拓撲空間對應(yīng)的過程族的緊的一致(w.r.t.g∈H(g0))吸引子的存在性(見定理4.2.15和定理4.3.5). 最后，我們研究了在自治外力項作用下具有衰退記憶的半線性熱方程ut-△u-∫∞0k(s)△u(t-s)ds+f(u)=g(x).在非線性項滿足超臨界指數(shù)增長條件下，通過應(yīng)

4、用抽象半群理論，進行先驗估計，獲得了解的存在唯一性，在此基礎(chǔ)上利用收縮函數(shù)來驗證解半群的漸近緊性，最終我們證明了方程的全局吸引子在弱拓撲空間L2(Ω)×L2μ(R+；礎(chǔ)(Ω)和強拓撲空間H10(Ω)×L2μ(R+；D(A))中的存在性(見定理5.2.9和定理5.3.7). 我們所研究的方程滿足的條件很弱，關(guān)于非線性項通常是滿足臨界指數(shù)增長或超臨界指數(shù)增長，而且在自治情形下外力項僅屬于正則性較低的空間，在非自治情形下外力項僅為平移