常微分方程的動(dòng)力學(xué)行為及符號動(dòng)力學(xué)分析.pdf

1、二十世紀(jì)五十年代以來，非線性科學(xué)得到了迅速的發(fā)展．隨著研究工作的不斷深入，它的內(nèi)容也在不斷擴(kuò)大，現(xiàn)已滲透到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、元胞自動(dòng)機(jī)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)新型研究領(lǐng)域． 探討非線性系統(tǒng)尤其是那些已研究得很多的系統(tǒng)(如Lorenz系統(tǒng))中的新現(xiàn)象是一個(gè)很有意義的課題，有助于豐富非線性科學(xué)知識的內(nèi)容，深化對非線性科學(xué)的認(rèn)識． 目前，非線性科學(xué)的主要研究方法是數(shù)學(xué)解析、計(jì)算機(jī)模擬或具體的實(shí)驗(yàn)．由于混沌現(xiàn)象的復(fù)雜性，新現(xiàn)象、新屬性和新規(guī)律的

2、探索必須要有新的研究手段．將符號動(dòng)力學(xué)知識運(yùn)用于非線性科學(xué)的研究是一個(gè)突破口．利用這種方法可以獲取許多單純借助分析或數(shù)值方法不能得到的整體性的結(jié)論． 基于以上兩個(gè)方面，本文對有關(guān)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及符號動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了探索，主要包括以下三個(gè)內(nèi)容： 1．內(nèi)分岔參數(shù)空間中Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為研究．在常微分方程系統(tǒng)中，不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)對系統(tǒng)的全局行為影響很大．把不動(dòng)點(diǎn)的一些分量作為內(nèi)參量并和原來的有關(guān)參數(shù)一起構(gòu)成相應(yīng)的參數(shù)

3、空間．在此空間中，通過不動(dòng)點(diǎn)的變化可以對Poincar?e映象所表現(xiàn)的系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究．根據(jù)這個(gè)思想，我們建立了此新的參數(shù)空間――內(nèi)分岔參數(shù)空間并在該空間下在較大范圍內(nèi)選擇不同的參數(shù)對Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了一般混沌現(xiàn)象之外的其它新的共存類，如不動(dòng)點(diǎn)與周期軌道或混沌吸引子的共存；周期軌道與局部混沌或通向混沌的倍周期分岔序列的共存等等．這些新現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)補(bǔ)充和完善了前人對Lorenz系統(tǒng)的研究，為我們今后的工作開辟了一條

4、新的思路． 2．內(nèi)分岔參數(shù)空間中Lorenz系統(tǒng)的符號動(dòng)力學(xué)研究．符號動(dòng)力學(xué)是一種拓?fù)渑c數(shù)值相結(jié)合的研究方法．我們在內(nèi)分岔參數(shù)空間下對Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了一維和二維的符號動(dòng)力學(xué)分析，給出了長度直至6的所有允許周期軌道序列及相應(yīng)的位置坐標(biāo)．此前，導(dǎo)師劉軍賢教授已對原參數(shù)空間下Lorenz系統(tǒng)作了詳細(xì)的符號動(dòng)力學(xué)分析．然而，在此新參數(shù)空間下，我們能找到很好的控制參量使Lorenz系統(tǒng)的二維特征更明顯，從而符號動(dòng)力學(xué)分析中的基本禁止

5、區(qū)更直觀．更重要的的是，雖然內(nèi)分岔參數(shù)空間下x¤ = 3:0，z¤ = 17:0時(shí)，混沌吸引子的Poincar?e映象的形狀與原參數(shù)空間下r = 28時(shí)的一樣，但仔細(xì)做流型分析可知前者存在正逆收縮葉，其切點(diǎn)的連線可以對相應(yīng)的相空間進(jìn)行分割，出現(xiàn)建立四個(gè)字的符號動(dòng)力學(xué)，而不是通常只需要兩個(gè)字的符號動(dòng)力學(xué)．當(dāng)然，更簡潔的方法是看兩者的交換首歸映射．兩種情形下的交換首歸映射明顯不同，導(dǎo)致相空間出現(xiàn)新的分割，從而符號序列描述中字母的個(gè)數(shù)也不同．