非線性奇異問題和脈沖方程解的相關(guān)研究.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中一個重要的分支學(xué)科。它具有豐富的理論和先進的方法，為處理實際問題所對應(yīng)的各種數(shù)學(xué)模型，如非線性微分方程，偏微分方程和非線性積分方程等提供了有效的理論工具。國內(nèi)的張恭慶教授，陳文山原教授，郭大鈞教授，孫經(jīng)先教授等在非線性泛函分析的各個領(lǐng)域都取得了輝煌成就。非線性奇異問題是近幾十年來非線性泛函分析關(guān)注的一個重要方面。半序Banach空間中非線性奇異微分方程和脈沖微分方程是微分方程研究中一個可望獲取豐碩成果的重要

2、研究課題。由于它不斷出現(xiàn)在各種應(yīng)用學(xué)科中，例如：大氣對流、生物、醫(yī)學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、流體力學(xué)、核物理、邊界層理論、非線性光學(xué)等近年來倍受國內(nèi)外數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家的高度重視。
　　 本文利用非線性泛函分析中發(fā)展起來的的多種先進方法，如拓撲度方法，錐與半序方法，不動點指數(shù)理論，不動點定理結(jié)合微分方程中的上下解方法，最大值原理，比較原理等，來研究幾類非線性奇異微分方程邊值問題，脈沖微分積分方程邊值問題和測度鏈上動力方程邊值問題正解的存

3、在性，唯一性，解的迭代序列，誤差估計及構(gòu)造收斂于解的迭代算法等，都得到了一些有意義的新成果，其中不少已在國內(nèi)外重要學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表。如《J.Math.Anal.Appl.》,《J.Comput.Appl.Math.》，《Appl.Math.Cmput.》，《Appl.Math.Lett.》，《Nnlinear Funct.Anal.Appl.》，《Acta Math.Hungar.》，《應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報》等。
　　 本文共分七章，主要

4、內(nèi)容如下：
　　 在第一章，介紹本文的背景知識及主要工作，并給出了后面幾章要用到的非線性泛函分析中的有關(guān)預(yù)備知識和引理。
　　 在第二章，主要討論下列非線性奇異二階和四階常微分方程組x(4)(t)=f(t,x，y)，(t，x，y)∈(0，1)×R+×R+，-y"(t)=g(t，x)，(t，x)∈(0，1)×R+，x(0)=x’(0)=x(1)=x"(1)=O， y(0)=y(1)=0，其中f∈C((0，1)×R+×R+，

5、R+)，g∈C((0，1)×R+，R+)，R+=[0，+∞)，f，g在t=0或t=1處奇異，而且允許f在x=0處奇異。已知文獻多數(shù)得到的是邊值問題正解存在的充分條件，尋求正解存在的充分必要條件是重要而有趣的，但很困難，而本文獲得了新結(jié)果.在適當?shù)臈l件下，利用不動點定理和單調(diào)迭代技巧，得到了彈性梁方程組正解存在唯一性的新成果，也得到了解序列的收斂速率及誤差估計，這是對解序列的一個新刻劃。本文還注意到解的迭代序列是明確的，這有助于數(shù)值實現(xiàn)。

6、
　　 在第三章，研究了非線性奇異邊值問題。
　　 在第一節(jié)，考察下列奇異二階Neumann邊值問題(NBVP)x"+k2x=f(t)g(t，x)，O＜t＜1，x’(O)=x’(1)=0，其中0＜k＜π/2是一個常數(shù)，允許非線性項f(t)，g(t，x)在t=0，t=1和x=0處奇異。f∈C((0，1)，(0，+∞))，g∈C((O，1)×(0，+∞)，(0，+∞))。最近，許多作者對奇異邊值問題正解存在性的研究感興趣，大

7、量的工作集中討論在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理中有廣泛應(yīng)用的二階邊值問題。然而，在生物，醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用背景的奇異Neumann邊值問題的結(jié)果相對較少。運用不動點定理和Green函數(shù)的性質(zhì)，在非線性項g(t，x)僅需要滿足局部單調(diào)性的條件下，得至了奇異Neumann邊值問題(NBVP)正解存在性的新結(jié)果。
　　 在第二節(jié)，考慮下列奇異三階邊值問題(BVP)x'"+α(t)F(t，x)=0，0＜t＜1，x(O)=x"(0)=x(1)=0，

8、正解的存在性，其中允許非線性項α(t)，F(xiàn)(t，x)在t=0，t=1及x=0處奇異。α∈C((O，1)，(0，+∞))，F(xiàn)∈C((0，1)×(0，+∞)，(O，+∞))。通過構(gòu)造特殊的錐，使用有關(guān)序的某種不等式及不動點定理，得到了三階奇異邊值問題正解存在的新結(jié)果。
　　 在第三節(jié)，得到了半直線上Sturm-Liouville邊值問題新的正解存在性結(jié)果，有趣的是不僅允許非線性項在端點處奇異，而且得到了關(guān)于參數(shù)μ明確的解區(qū)間。在第四

9、節(jié)，通過具體的例子說明第3.1與第3.2節(jié)的新結(jié)果所涉及的函數(shù)類是十分廣泛的。
　　 在第四章，考慮更一般的二階非線性三點邊值問題y"+μα(t)f(t，y(t))=0，t∈(0，1)，y(0)-βy’(0)=O，y(1)=αy(η)，正解的存在性，其中μ＞0是參數(shù)，β＞0，0＜η＜1，0＜αη＜1，△：=(1-αη)+β(1-α)＞0，α∈C((0，1)，(0，+∞))，α(t)可以在t=0或t=1處奇異.f∈C([0，1]×

10、(O，+∞)，(O，+∞))，且允許f(t，x)在x=0處奇異。近幾年，在非線性項施以較強的限制條件下，許多科研工作者對三點邊值問題已進行了廣泛的研究，并取得了一些較好的結(jié)果.對非線性項f(t，y)沒有任何單調(diào)性或增性條件的假設(shè)，并且允許非線性項奇異，在與線性算子有關(guān)的第一特征值的條件下，通過構(gòu)造有效的積分算子，并結(jié)合不動點指數(shù)理論和Green函數(shù)的性質(zhì)，不僅得到了三點邊值問題正解的存在性，也得到了關(guān)于正參數(shù)μ的明確的區(qū)間.結(jié)果的新穎之

11、處在于不僅允許α(t)在t=0或t=1處奇異，而且也允許非線性項f(t，y)在y=0處奇異。
　　 在第五章，研究了測度鏈上非線性奇異微分方程的正解。
　　 在第一節(jié)，對測度鏈上動力方程的發(fā)展史作簡要介紹，并給出了測度鏈分析中的一些基本概念和預(yù)備知識，以備后面幾章使用。
　　 在第二節(jié)，討論下列測度鏈上微分方程1/u(t)(u(t)y△(t))△+λh(t)f(t,y(σ(t)))=0，t∈[0，1]，在邊界條件

12、下ay(0)-b limt→0+y(t)y△(t)=0，cy△(σ(1))+d limt→1-y(t)y△(σ(1))=0，正解的存在性，其中λ＞0是一個參數(shù)，在(0，σ(1))上u(t)＞0，使得u(t)的δ-導(dǎo)數(shù)與積分∫σ(1)0△r/u(τ)存在，u，h∈C((0，σ(1))，(0，+∞))，f∈C([0，σ(1)]×[0，+∞)，[0，+∞))，a，b，c，d≥0，且r:=bc/u(1)+ab/u(σ(1))+ac∫σ(1)0△

13、s/u(s)＞0。利用錐上的不動點指數(shù)理論，得到了測度鏈上Sturm-Liouville邊值問題正解存在的新的判別準側(cè)，本文的結(jié)果推廣并改進了許多已知結(jié)果。
　　 在第三節(jié)，考慮下列測度鏈上二階非線性微分方程m-點奇異邊值問題x△△(t)+g(t)f(t，x)=0，0＜t＜T，x(T)=0，x(0)=m-2∑i=1αix(ηi)，其中，0＜αi＜T,i=1，2，3，…，m-2，0＜η1＜η2＜…＜ηm-2＜T為常數(shù)，0＜m-2∑

14、i=1αi＜T，m≥3，f：(0，T)×(0，+∞)→[0，+∞)和g：(0，T)→[0，+∞)連續(xù)，并且允許非線性項f(t，x)在t=0或t=T,x=0處奇異。在允許非線性項奇異的情況下，通過構(gòu)造精確的上下解以及運用最大值原理，得到了測度鏈上非線性奇異m-點邊值問題存在唯一Crd[0，T]正解的和C1rd[0,T]正解的充分條件。
　　 在第六章，研究了下列二階微分方程-x〃(t)+b(t)x(t)=g(t)f(t，x(t))

15、，正周期解的存在性，其中b(t)與g(t)為連續(xù)的W-正周期函數(shù)，并且f∈C(IR×[0，+∞)，[0，+∞))。本文建立了一個新的比較原理.在與線性算子有關(guān)的第一特征值的條件下，通過構(gòu)造一個特殊的錐，利用不動點指數(shù)理論，Krein Rutmann定理和轉(zhuǎn)化技巧，得到了二階微分方程至少存在一個正周期解的新的充分條件。
　　 在第七章，考慮了下列二階混合型奇異非線性脈沖積分微分方程邊值問題y"+h(t)f(t，y(t)，y’(t)

16、，(Ty)(t)，(Sy)(t))=0，(A)t∈J,t≠tk，△y|t=tk=Ik(y(tk))，k=1，2，…，m，-△y'|t=tk=(-I)k(y(tk)，y’(tk))，k=1，2，3，…，m，αy(0)-βy’(O)=0，γy(1)+δy'(1)=0，正解的存在性，其中α，β，γ,δ≥0，p=βγ+αγ+αδ＞0，J=(0，1)，0＜t1＜t2＜…＜tm＜1，J'=J\{t1，t2，…，tm}，(-J)=[0，1]，J0=(

17、0，t1]，J1=(t1，t2]，Jm=(tm，1]，f∈C[J×P×P×P×P,P].P是E中的正錐，Ik∈C[P,P]，(-I)k∈C[P,P]，θ是E中的零元，并且 (Ty)(t)=∫t0K(t,s)y(s)，(Sy)(t)=∫10H(t，s)y(s)ds，這里K∈C[D，J]，D={(t，s)∈J×J：t≥s}，H∈C[J×J,J]，K0=max{K(t，s)：(t，s)∈D}，H0=max{H(t，s)：(t，s)∈D}.△y

18、|t=tk及△y'|t=tk表示y(t)和y'(t)在t=tk處的跳躍算子，即△y|t=tk=y(t+k)-y(t-k)，△y'|t=tk=y'(t+k)-y’(t-k)其中y(t+k)，y'(t+k)和y'(t-k)，y'(t-k)分別表示y(t)和y'(t)在t=tk處的右極限和左極限.允許h(t)∈C(J,R+)在t=O或t=1處奇異。
　　 本文利用錐理論，不動點定理及嚴格集壓縮算子，在較弱的條件下，得到了二階奇異非線性