幾類非線性發(fā)展方程解的若干問題的研究.pdf

1、發(fā)展方程一般是指包含時間變量t的偏微分方程,它們描述了物理和其他學(xué)科中的系統(tǒng)隨著時間變化的過程,包含KDV方程,反應(yīng)-擴散方程,以及來自流體力學(xué)中的方程等,這些方程描述了我們身邊的許多自然現(xiàn)象.它們對于科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步起著非常重要的作用。本文主要分析來自于應(yīng)用科學(xué)中的幾類非線性發(fā)展方程(組)解的奇異性質(zhì)。
　　本研究分為九個部分：第1章,緒論,主要介紹所研究問題的物理背景和發(fā)展?fàn)顩r,并陳述本文的主要研究內(nèi)容和結(jié)果。第2章,研究了中

2、等振幅的淺水波的一個模型方程的Cauchy問題.首先,通過利用Littlewood-Paley分解和輸運方程理論,在Besov空間中建立了這個模型方程的局部適定性。其次,考慮了臨界情形的局部適定性。而且,當(dāng)初始數(shù)據(jù)解析時,解關(guān)于兩個變量都是解析的,解關(guān)于空間是整體的,關(guān)于時間是局部的。最后,考慮了強解的保持性。第3章,研究了一個帶有立方非線性的新型非線性色散方程,著名的Novikov方程是這個方程的一個特例。首先,我們在Besov空間的

3、框架下建立了局部適定性,還利用Kato半群理論建立了索伯列夫空間中的適定性.然后給出了精確的爆破準(zhǔn)則.而且,當(dāng)初始數(shù)據(jù)解析時,解關(guān)于兩個變量都是解析的,解關(guān)于空間是整體的,關(guān)于時間是局部的。最后,證明了方程的尖峰孤立波解是整體弱解。第4章,研究了周期的兩個分量的超彈性桿波方程的Cauchy問題。首先建立該問題的局部適定性和精確的爆破圖景.然后,獲得了若干爆破結(jié)果和強解的爆破速率.進(jìn)一步地,我們給出了強解的兩個整體存在性結(jié)果。最后,考慮解

4、的解析性和初邊值問題。第5章,研究了廣義Camassa-Holm方程的Cauchy問題。首先,利用一個Galerkin-型近似格式,我們證明了在Sobolev空間中,該問題對于周期情形和非周期情形都是 Hadamard適定的。也就是說,初值與解對應(yīng)的映射是連續(xù)的。而且,通過證明解映射不一致連續(xù)證明了這個相關(guān)性是最優(yōu)的。利用近似解方法和適定性估計證明了非一致相關(guān)性。最后,證明了廣義Camassa-Holm方程的解映射按rH-拓?fù)涫荋old

5、er連續(xù)的。第6章,研究了一個帶有非局部邊界條件的退化拋物方程組的正解的爆破性質(zhì)。首先,給出有限時間內(nèi)爆破準(zhǔn)則或整體存在性的準(zhǔn)則,這些準(zhǔn)則表明了非局部邊界條件的重要性.然后對小的加權(quán)的非局部邊界條件建立精確的爆破速率估計。第7章,研究了具有在無窮遠(yuǎn)處衰減的初始值的、雙重退化拋物方程的Cauchy問題的正解,對正解的整體存在性和非整體存在性給出了一個新的第二臨界指數(shù)。最后,進(jìn)一步地研究了解的長時間行為和生命周期。第8章,研究了非線性擴散、