非線性發(fā)展方程求精確解若干問題的研究.pdf

1、非線性發(fā)展方程是非線性偏微分方程的重要組成部分,該類方程通常用于描述隨時間而演變的過程,其研究對象源自物理學(xué)、化學(xué)、信息科學(xué)、生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域。對具體的非線性發(fā)展方程,如果能夠得到它們的精確解,將有助于人們搞清被研究對象在非線性作用下的運動規(guī)律,準確地解釋自然界中的許多非線性現(xiàn)象以及發(fā)現(xiàn)自然現(xiàn)象新的規(guī)律。近年來,隨著計算機符號計算的發(fā)展,非線性發(fā)展方程精確求解問題成為一個活躍的研究領(lǐng)域,許多求精確解的直接代數(shù)方法已經(jīng)呈現(xiàn)。
　　

2、 本文對近年來求非線性發(fā)展方程精確解的一些方法以及若干具體方程的精確解進行研究,全文共分六章。
　　 第一章,簡要地介紹與本文研究問題有關(guān)的背景知識和發(fā)展概況,回顧非線性發(fā)展方程的若干經(jīng)典求解方法,如反散射變換方法、Painlevé分析、B(a)cklund變換法、Darboux變換法、Hirota雙線性方法等。
　　 第二章,通過改進齊次平衡法和拓展的齊次平衡法中的一些關(guān)鍵步驟,首先給出了修正的齊次平衡法(Ⅰ)、(Ⅱ

3、)。然后,以廣義Boussinesq方程、KP方程和MKdV方程為例,說明了用修正的齊次平衡法(Ⅰ)可以導(dǎo)出非線性發(fā)展方程的雙線性方程。進而,以(3+1)-維Jimbo-Miwa方程和(2+1)-維變系數(shù)KP方程為例,說明了用修正的齊次平衡法(Ⅱ)可以導(dǎo)出非線性發(fā)展方程新的自B(a)cklund變換,從兩個多維方程新的自B(a)cklund變換出發(fā),我們用攝動方法給出了方程的兩孤子解。
　　 第三章,對用(G'/G)-展開法、新

4、輔助方程方法、廣義Riccati方程方法得到的若干多參數(shù)行波解進行分析。首先證明(G'/G)-展開法等價于拓展的tanh函數(shù)方法,用(G'/G)-展開法不能夠得到非線性發(fā)展方程新的行波解。其次證明了Sirendaoreji給出的新輔助方程的十四個解與原輔助方程的解波形波速相同僅是相位不同。最后對Xie等人用符號計算給出的廣義Riccati方程的二十七個解進行研究,證明了它們和Riccati方程已知的解是等價的。
　　 第四章,分

5、析了求非線性發(fā)展方程精確解的兩種商接代數(shù)法:Sirendaoreji的輔助方程方法以及tanh-coth方法。第一節(jié)回顧了一些常用的直接代數(shù)方法以及用它們求精確解的一般步驟。第二節(jié)對Sirendaoreji的輔助方程的解按照三個參數(shù)進行重新分類,這一分類給出了方程的孤波解和奇異解與三個參數(shù)值的關(guān)系。利用這一分類修正了文獻中給出的MKdV方程第三類孤立波解的存在條件,也得到(2+1)-維色散長波方程組豐富的精確解.第三節(jié)證明了平衡數(shù)m≤2

6、時,tanh-coth方法等價于雙曲函數(shù)展開法。
　　 第五章,給出一個新的試探函數(shù),構(gòu)造了三個有重要背景的非線性發(fā)展方程的精確解并分析了解之間的關(guān)系。三個方程中一個是Burgers方程、KdV方程、KdV-Burgers方程和Benney方程組合起來的方程,另外兩個是廣義Fisher方程和廣義FitzHugh-Nagumo方程。用我們給出的新的試探函數(shù)求得的解呈現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象:扭形孤波解和復(fù)值解總是一起出現(xiàn)?；谶@一現(xiàn)象,

7、我們證明了對一般的非線性發(fā)展方程,tanhθ形式的解一定和tanh2θ±isech2θ形式的解成對出現(xiàn)。
　　 第六章,提出了適用于求耦合方程組精確解的廣義射影Riccati方程方法。首先引入廣義射影Riccati方程,利用它的解包含了幾種最常見的Jacobi橢圓函數(shù)的事實,說明該方法可以在統(tǒng)一的方法下求得用Jacobi橢圓正弦函數(shù)展開法、Jacobi橢圓余弦函數(shù)展開法以及其它Jacobi橢圓函數(shù)展開法所能得到的方程的解。然后我