數(shù)學(xué)物理中若干非線性微分方程的精確解.pdf

1、隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)理論的發(fā)展,眾多物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家都相繼投入到非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解的構(gòu)造這一非線性科學(xué)領(lǐng)域的主要研究方向上來.由于對非線性微分方程沒有統(tǒng)一的求解方法,因此近五十年來一些特殊的方法相繼被提出.利用計(jì)算機(jī)代數(shù)理論開發(fā)的符號計(jì)算軟件如Mathematica和Maple等被廣泛應(yīng)用,并結(jié)合特定的展開方法開發(fā)出了軟件包,使得某些特定形式的解的構(gòu)造機(jī)械化了.但是這些方法大多沒有考慮其深層的理論基礎(chǔ),也很少考慮方法本身的

2、局限性.同時某些新方法的應(yīng)用還有待于進(jìn)一步的推廣.本文就是針對這些問題展開了比較系統(tǒng)的研究,并在具體的計(jì)算過程中,對于某些困難的非線性代數(shù)方程組的求解使用了Mathematica軟件,這也是計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)物理中的重要應(yīng)用.首先討論了射影Riccati方程方法.通過研究各種射影Riccati方程方法,給出了這一方法的統(tǒng)一格式,并且研究了這個方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),指出了射影Riccati方程方法的局限性.通過幾個定理的形式,指出對于某些秩非齊次

3、的非線性微分方程,射影Riccati方程方法是不適用的.作為該方法可以應(yīng)用的例子,討論了BBM-Burgers方程的求解.其次,利用劉成仕提出的多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)方法求出了五個非線性數(shù)學(xué)物理方程(組)的精確解,將帶有任意階非線性項(xiàng)的混合KdV方程、非線性耦合標(biāo)量場方程、2+1維Bousenisq方程、Maccari's方程組和(2+1)維廣義Hirota方程約化成初等積分形式,再利用多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)求出精確行波解,有些甚至得到了所有的