非線性微分方程精確解及振動(dòng)性.pdf

1、本文主要作了以下二方面的研究：首先，借助于符號(hào)計(jì)算和吳方法研究了非線性發(fā)展方程的精確解(定量)，提出和改進(jìn)了一些求解非線性發(fā)展方程的方法，并在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple上予以機(jī)械化實(shí)現(xiàn)．其次，利用Riccati變換和積分平均技巧研究了幾類非線性微分方程的振動(dòng)性(定性)． 第一章主要介紹了本文所涉及到的學(xué)科(包括孤立子理論、數(shù)學(xué)機(jī)械化、微分方程的振動(dòng)性等)的起源及發(fā)展過(guò)程，以及國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這些方面所做的工作和已經(jīng)取得的一些成果．最后介

2、紹了本文的主要工作． 第二章介紹了求解非線性發(fā)展方程的AC=BD模式，給出了C-D對(duì)和C-D可積系統(tǒng)的基本理論以及構(gòu)造C-D對(duì)的方法，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明了這一模式的使用方式． 第三章基于非線性發(fā)展方程求解代數(shù)化、算法化、機(jī)械化的指導(dǎo)思想，以吳方法和符號(hào)計(jì)算為工具，首先提出一種新的廣義tanh函數(shù)方法，并將其應(yīng)用于(2+1)-維Kadomtsev-Petviashvili方程的精確解構(gòu)造．其次，利用Q-變形雙曲函數(shù)，提出廣義的

3、Q-變形雙曲函數(shù)方法，以淺水長(zhǎng)波近似方程為例驗(yàn)證了該算法的有效性．最后，通過(guò)給出輔助方程更多形式的Jacobi橢圓函數(shù)解，進(jìn)一步改進(jìn)了求解非線性發(fā)展方程的Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法，并用其求解了廣義Ito方程組、Zakharov-Kuznetsov方程、耦合Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程和(2+1)-維Davey-Stewartson方程，得到了豐富的有理形式雙周期解．在退化情況下，又可得到有理孤波解． 第

4、四章利用推廣的Riccati變換及積分平均技巧，首先，研究了一類二階非線性微分方程在一般假設(shè)條件下的振動(dòng)性，所得結(jié)果推廣和改進(jìn)了前人的相關(guān)結(jié)果．其次，研究了一類廣泛的二階非線性強(qiáng)迫微分方程的振動(dòng)性，得到若干區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則．這些準(zhǔn)則僅依賴于方程在[t<,0>,∞)的一個(gè)子區(qū)間序列上的信息，且避免了前人結(jié)果中可能出現(xiàn)的問(wèn)題，所得結(jié)果更有效．最后，借助于核函數(shù)Φ(t，s，l)和算子A<'P"[.，l,t]研究了一類二階阻尼泛函微分方程的振動(dòng)性，