幾類(lèi)非線(xiàn)性微分方程振動(dòng)性的研究.pdf

1、微分方程的振動(dòng)性理論是微分方程定性理論中一個(gè)十分重要的分支,它具有非常深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型.由G.sturm所建立的關(guān)于齊次二階線(xiàn)性微分方程解的零點(diǎn)分布的比較定理和分離定理,為微分方程振動(dòng)性理論的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。一個(gè)半世紀(jì)以來(lái),微分方程的振動(dòng)性理論得到了迅猛的發(fā)展,有大批學(xué)者從事于這方面的理論研究,取得了一系列豐碩的研究成果.
　　 微分方程解的振動(dòng)性也是微分方程解的重要性態(tài)之一.隨著自然科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的不斷發(fā)展,

2、在許多應(yīng)用問(wèn)題中均出現(xiàn)了是否微分方程有振動(dòng)解存在或者是否微分方程的一切解均為振動(dòng)解的問(wèn)題.特別是近幾十年,微分方程解的振動(dòng)性的研究發(fā)展得相當(dāng)迅速,其中以二階非線(xiàn)性微分方程最受人們的關(guān)注,因此也被研究得比較深入和廣泛,無(wú)論是從方程的類(lèi)型上還是從研究的方法上均有長(zhǎng)足的發(fā)展
　　 本文利用廣義Riccati變換,廣義變分原理,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及巧妙運(yùn)用不等式,對(duì)幾類(lèi)微分方程的振動(dòng)性,進(jìn)行了討論,得到了一些新的振動(dòng)性的判別準(zhǔn)則.根據(jù)內(nèi)

3、容,本文分為如下四章.
　　 第一章概述了本文研究的主要問(wèn)題及基礎(chǔ)理論.
　　 第二章研究了一類(lèi)含強(qiáng)迫項(xiàng)的二階擬線(xiàn)性微分方程
　　 (p(t)|x'(t)|α-1x'(t))'+q(t)|x(t)|β-1x(t)=e(t),t≥t0,
　　 解的振動(dòng)性,其中p,g,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,且0<α≤β是常數(shù).
　　 本章的主要目的是使用廣義的變分原理來(lái)討論上述擬線(xiàn)性方程的振動(dòng)性,

4、所得到的新的振動(dòng)性判定與廣義變分形式密切相關(guān),并且推廣和改進(jìn)了許多現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果.
　　 第三章研究了一類(lèi)含強(qiáng)迫項(xiàng)的非線(xiàn)性微分方程
　　 (p(t)ψ(x'(t)|x(t)|α-1x'(t))'+q(t)f(x(t))=e(t),t≥t0,的解的振動(dòng)性,其中α是正常數(shù),p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,且ψ∈C(R,(0,∞)),f∈C(R,R)滿(mǎn)足當(dāng)u≠0時(shí)uf(u)>0.
　　 本章主要利用

5、了廣義Leighton變分原理,Riccati變換,基本不等式將Zhaowen Zheng和S.Cheng在文[36]中的結(jié)論推廣和改進(jìn),得到了一些新的振動(dòng)性準(zhǔn)則.
　　 第四章研究了一類(lèi)含強(qiáng)迫項(xiàng)的二階擬線(xiàn)性微分方程(r(t)|x'(t)|α-1x’(t))’+q(t)|x(t)|β-1x(t)+F(t,x(t),x(T(t),x'(t),x'(T(t)))=e(t),t≥t0>0,的振動(dòng)性,其中
　　 (I1)0<α≤

6、β是常數(shù)；
　　 (I2)r,q,e∈C([t0,∞),R),且r(t)>0；
　　 (I3)F:[t0,∞)×R×R×R→ R是一個(gè)連續(xù)函數(shù)；
　　 (I4)T:[t0,∞)→(0,∞)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)而且limt→∞T(t)=∞.
　　 A.Tiryaki在文[42]中得到了如下方程的振動(dòng)性
　　 (r(t)?x'(t)|α-1x'(t))'+F(t,x(t),x(t)),x'(t),x'(t)

7、,z'(T(t)))=0,t≥t0>0.
　　 2007年,Zhaowen Zheng和Fanwei Meng在[40]文中又研究了方程
　　 (p(t)|x'(t)|α-1x'(t))'+q(t)|x(t)|β-1x(t)=e(t),t≥t0,的振動(dòng)性,其中p,q,e∈C([t0,∞),R),p(t)>0,0<α≤β是常數(shù).
　　 本章在上述論文[39]-[47]的基礎(chǔ)上,采用兩種不同的方法,研究了一類(lèi)更為廣泛