滲流力學(xué)模型的多步特征數(shù)值方法.pdf

1、油藏的運移聚集、油氣資源的開采、地下水的污染、海水入浸問題以及其它眾多的滲流問題，從物理本質(zhì)上考慮，它們都是流體在地下復(fù)雜的多孔介質(zhì)間的運移，這種運移常常是對流占優(yōu)或強對流占優(yōu)的擴散(包括機械彌散)運動。對于這些大規(guī)模長時間的應(yīng)用問題，數(shù)值方法求解其數(shù)學(xué)模型常常遇到很大的困難。顯著的困難在于強對流占優(yōu)對流擴散方程的解具有移動的陡峭的前沿，求解一般拋物方程所用的標準有限元或有限差分法會產(chǎn)生難以接受的數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散。為克服數(shù)值震蕩，工業(yè)

2、中求解這類問題所使用的加權(quán)迎風(fēng)法又會產(chǎn)生較強的數(shù)值彌散。上世紀八十年代，美國著名計算數(shù)學(xué)家Jim Douglas等提出了修正特征方法(簡稱MMOC)，該方法很大程度上消除了數(shù)值震蕩和數(shù)值彌散等不足．可用于大步長大規(guī)模數(shù)值計算，并成功應(yīng)用于油藏問題的數(shù)值模擬。然而，特征方法也存在自身的不足；尤其它不能保持物理問題所故有的質(zhì)量守恒特性。在接下來的時間里，特征方法又得到了不斷的改進，在原有的思想上又提出了帶局部修正的特征方法(簡稱MMOCAA

3、)，該方法能保持流體的局部質(zhì)量守恒特性。上述兩種方法的缺點主要表現(xiàn)在對邊界條件的處理很不方便。Euler-Lagrange局部共軛方法(簡稱ELLAM)，作為改進的特征方法不僅保持質(zhì)量守恒，而且能夠方便地處理邊界條件。 MMOCAA方法和ELLAM方法都已成功的應(yīng)用于滲流問題的數(shù)值求解。 作為提高運算效率的重要方法，多步方法已廣泛應(yīng)用于常微分方程和拋物型偏微分方程的數(shù)值求解．經(jīng)典的向后差分法(簡稱BDF)，是一類全隱的離散

4、格式．著名計算數(shù)學(xué)家Grouzeix于上世紀八十年代初提出的基于算子分解的隱一顯多步方法在最近得到了發(fā)展，成為求解某些拋物方程的高效方法．該方法對時間的離散基于線性多步法，離散方程的一部分為隱格式，另一部分為顯格式．這種隱、顯結(jié)合的多步方法每一步求解的線性方程組系數(shù)矩陣是相同的，因而其格式非常高效．另外，還是穩(wěn)定和相容的。 本文所做研究工作集中以下兩個方面；首先，對兩類典型的滲流問題提出并分析了向后多步特征方法．它們分別是強化采

5、油問題的向后多步特征有限元方法、向后多步特征混合元和向后多步特征差分法，海水入浸問題的問題的向后多步特征有限元方法．其次，基于MMOC方法，提出和分析了對流占優(yōu)擴散方程的隱一顯多步特征有限元方法，該方法具有特征法的思想，而且是非常高效、穩(wěn)定和相容的。我們還明顯的注意到：一方面，隱一顯多步特征有限元方法，可以直接的推廣為基于MMOCAA方法的修正隱一顯多步特征有限元方法，從而質(zhì)量守恒得以保持．另一方面，隱一顯多步特征法可以直接應(yīng)用于滲流問

6、題的數(shù)值模擬．對于這兩個方面，我們將在未來研究工作作仔細討論．本文還討論了有限體積元方法，該方法介于有限元和有限差分法之間，具有接近有限元的精度卻只需要接近有限差分法的計算量；而且，體積元方法能夠保持局部質(zhì)量守恒，這對求解流體問題的是很重要的特點．由于實際滲流問題數(shù)學(xué)模型中對流擴散方程的擴散(彌散)系數(shù)矩陣可能是半正定的，而本文其他地方均附加了正定性假設(shè)，因此，我們也給出海水入浸問題在擴散系數(shù)矩陣半正定情形下特征有限元方法的收斂性分析．