整函數(shù)唯一性定理的兩個結果.pdf

1、二十世紀二十年代，芬蘭數(shù)學家R．Nevanlinna引進了亞純函數(shù)的特征函數(shù)，并以此創(chuàng)立了Nevanlinna值分布理論，成為二十世紀最偉大的數(shù)學成就之一。它不僅奠定了現(xiàn)代亞純函數(shù)理論的基礎，并且對其他許多數(shù)學分支的交叉和融合產(chǎn)生了重要的影響。特別是在復數(shù)域中常微分方程大范圍解析解的研究中，由于Nevanlinna理論的成功運用，不但為之提供了十分重要的研究工具，而且使得這一學科的發(fā)展充滿生機。R．Nevanlinna利用他所創(chuàng)立的亞純

2、函數(shù)值分布理論，研究了確定一個亞純函數(shù)所需要的條件，得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理，從此拉開了唯一性理論研究的序幕。 半個多世紀以來，國外數(shù)學家F．Gross，M．Ozawa，G．Frank，E．Mues，N．Steinmetz，H．Ueda，G．Gundersen及我國數(shù)學家熊慶來、楊樂等在值分布理論方面取得了一系列令人矚目的結果，使之得到了蓬勃的發(fā)展。 本文的結果與復平面上整函數(shù)

3、(或亞純函數(shù))與其導數(shù)的唯一性問題有關。該問題不僅有其自身的理論價值，而且由于該問題與正規(guī)族理論密切相關，因而值得進一步研究。全文共分四章： 第一章，簡要介紹唯一性理論發(fā)展的歷史。 第二章，簡要介紹唯一性理論的主要概念、基本結果和常用符號。 第三章，我們主要研究了與導數(shù)分擔有理函數(shù)的整函數(shù)。常建明和方明亮證明了如下定理，從而就整函數(shù)情形完整回答了“儀—楊”問題： 定理1設f是非常數(shù)整函數(shù)，α是非零有窮復數(shù)

4、，k，m是兩個互相判別的正整數(shù)。如果f，f(k)，f(m)CM分擔α，則f(k)=f(m)。 我們證明了： 定理2設f是超越整函數(shù)，R是非常數(shù)有理函數(shù)，k，m是兩個互相判別的正整數(shù)。如果f，f(k)，f(m)CM分擔R，那么f(k)=f(m)。 第四章，我們主要研究了與導數(shù)分擔小函數(shù)的整函數(shù)。G．Gundersen和楊連中證明了如下結果： 定理3設f是有窮級整函數(shù)，α是復數(shù)，。如果f，f'CM分擔α，那么

5、f—α≡c(f'—α)，其中c是非零常數(shù)。 我們將上述定理中的常數(shù)α推廣到了小函數(shù)，得到如下結果： 定理4設f是有窮級整函數(shù)，α是級小于f的整函數(shù)，如果f，f'CM分擔α，那么f—α≡c(f'—α)，其中c是非零常數(shù)。 文中“整函數(shù)”是指在整個復平面上解析的函數(shù)，而“亞純函數(shù)”是指在整個復平面上除極點外沒有其他類型奇點的單值解析函數(shù)。 兩個函數(shù)(兩個整函數(shù)或兩個亞純函數(shù))f和gCM分擔一函數(shù)α的意思是指f