有限群的Laffey自同構(gòu).pdf

1、有限群的自同構(gòu)群是群論中重要而困難的研究課題之一，近年來日趨活躍.給定任意群G以及一個自同構(gòu)α∈Aut(G)，如果總成立gαg=ggα，g∈G，則稱α為G的一個交換自同構(gòu)。從定義不難看出交換自同構(gòu)是中心自同構(gòu)的一種推廣。群G的全體交換自同構(gòu)集合記為A(G)，一般不是Aut(G)的子群。2002年Deaconescu等在文獻(xiàn)[16]中對交換自同構(gòu)進(jìn)行了深入的研究，得到了一系列重要結(jié)果，文中所用到的一個關(guān)鍵技術(shù)是所謂的Laffey引理，即任

2、意群G的每個交換自同構(gòu)α總滿足換位子公式[xα，y]=[x,yα]，(V) x，y∈G.本文將滿足該換位子公式的任意自同構(gòu)α∈Aut(G)稱為群G的一個Laffey自同構(gòu)，并記所有的Laffey自同構(gòu)集合為L(G),據(jù)此可將交換自同構(gòu)的大多重要結(jié)論推廣到Laffey自同構(gòu)上。進(jìn)而，得出本文主要內(nèi)容。
　　本研究首先給出一個自同構(gòu)何時是一個Laffey自同構(gòu)的判別條件：定理1.設(shè)G為任意群，α∈Aut(G).如果α2∈Autc(G)

3、，則α∈L(G)當(dāng)且僅當(dāng)α中心化G'。下面從生成元的角度給出Laffey自同構(gòu)的一個判別條件。定理2.設(shè)群G=，α∈Aut(G).則α∈L(G)當(dāng)且僅當(dāng)[xα，y]=[x，yα]，(V(x,y∈X。本文還討論了Laffey自同構(gòu)和交換自同構(gòu)的關(guān)系，給出了Laffey自同構(gòu)是交換自同構(gòu)的一些條件。定理3.設(shè)G為任意群，則下述成立：(1)如果|G'|為奇數(shù)，則L(G)=A(G).此時，[G,α]≤E2(G),(V)α∈L(G)；(2)

4、任取α∈L(G)，則α2∈A(G)?？蓪⒁陨辖粨Q自同構(gòu)的大多重要結(jié)論推廣到Laffey自同構(gòu)上，即本文以下定理：定理4.設(shè)G為任意群，α，β∈L(G)，則下述成立：⑴L(G)對方冪封閉，即對任意的n∈Z，均有αn∈L(G)；⑵L(G)對共軛封閉，即對任意的γ∈Aut(G)，均有γ-1αγ∈L(G)；⑶任取整數(shù)n≥0，則(αβ)nα，β(αβ)n∈L(G)；⑷[α，β]固定G'中的每個元素；⑸若αβ∈L(G)，則[α，β]∈Autc(G)