二維區(qū)域中一類橢圓方程解的集中現(xiàn)象.pdf

1、本文主要研究二維區(qū)域中一類半線性橢圓方程解的集中現(xiàn)象。這種現(xiàn)象大量出現(xiàn)在化學(xué)、物理學(xué)和幾何學(xué)中，研究它對現(xiàn)實(shí)生活有著重要的意義。 首先，在第一部分中我們將簡單介紹問題的背景、研究現(xiàn)狀以及本文的主要工作。 設(shè)Ω是R<'2>。中的有界光滑區(qū)域。在第二、三部分我們考慮一個(gè)散度型橢圓方程這里v表示邊界aΩ上的單位外法向，ε>0是小參數(shù)，a(x)是區(qū)域Ω上的光滑函數(shù)且滿足條件：0≤a(x)≤a<,2><∞。我們主要是考

2、察各向異性函數(shù)a(x)對解的存在性和漸近性態(tài)的影響。首先，我們給出該問題解的漸近分析，當(dāng)ε充分小時(shí)解可能在邊界上出現(xiàn)集中現(xiàn)象，且通過“bLlbble's separation”技巧得到ε∫<,aΩ>e<'uε>在邊界上某一點(diǎn)集中的權(quán)為2π的整數(shù)倍。這一結(jié)果推廣了[43]中的結(jié)論。接下來，在第三部分中我們通過所謂的“l(fā)ocalized energy”方法構(gòu)造出上述高能解的存在性。 在第四部分中，我們考慮sinh-Poisson方程

3、的Neumann問題：通過構(gòu)造，我們給出該問題一類非平凡解的存在性以及這類解的漸近性態(tài)。這些解的渦場(vorticity field)實(shí)際上收斂到符號相反的Dirac數(shù)值的和，并且奇點(diǎn)就是與Green函數(shù)相關(guān)的泛函的臨界點(diǎn)。 接下來，我們考慮各向異性的sinh-Poisson問題：同第一個(gè)問題一樣，我們的目的是考察各向異性函數(shù)a(x)對“bubble”解的存在性和漸近性態(tài)的影響。我們證明了當(dāng)ε>0充分小時(shí)存在一族解，該解在給定的

4、a(x)的局部極小值點(diǎn)處正、負(fù)集中，準(zhǔn)確地講，我們有ε<'2>a(x)(e<'uε>-e<'-uε>)—O. 這一結(jié)果與[15]和[73]中各向同性的情形(a(x)≡Constant)有著很大的不同，且與[115](對應(yīng)于另一問題)中“在a(x)的極小值點(diǎn)處bubble是單的(simple)”的結(jié)果相異。我們?nèi)匀皇峭ㄟ^“Lyapunov-Schmidt reduction”方法實(shí)現(xiàn)我們的目的。最后，我們對集中現(xiàn)象作一小結(jié)，并提出