2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、Finsler度量作為推廣的黎曼度量是定義在切叢上的函數(shù)F:TM→[0,∞)滿足條件(1)F(x,y)是裂紋切叢TM\{0}上的光滑函數(shù);(2)F(x,y)是關(guān)于y的一階正齊次函數(shù);(3)基本張量(gij(x,y):=1/2[F2]yiyj)是正定的。若gij與x無關(guān),則稱F是Minkowski度量。若gij與y無關(guān),則稱F是黎曼度量。
  給定一個(gè)黎曼度量α=√aijyiyj與一個(gè)1-形式β=biyi。令F=αφ(s),s=β/

2、α,其中φ(s)是定義在開區(qū)間(-bo,bo)上的正光滑函數(shù)。若Finsler度量F滿足條件(1)‖βx‖α:=√aijbi(x)bj(x)< bo,(2)φ(s)-sφ'(s)+(b2-s2)φ">0,|s|≤b<bo,則稱F是正則(α,β)-度量。本文針對(duì)(α,β)-度量研究了兩類問題,其一是正則(α,β)-度量的廣義獨(dú)角獸問題,其二是(α,β)-度量的共形問題。
  Finsler流形(M,F(xiàn))上非零向量U∈TxM沿著曲線σ

3、(t)(σ(0)=x)的典型平移由微分方程(U)i(t)+Uj(t)Γijk(σ(t),U(t))(σ)k=0確定,其中Γijk:=(Gi)yiyk。Berwald空間中的典型平移都是線性平移,即Γijk=Γijk(x)。由典型平移可以定義穿刺切空間之間的微分同胚φt:TxM\{0}→T(σ)(t)M\{0},φt(x,U):=(σ(t),U(t))。該微分同胚是保持F不變的,即滿足φ*tF=F。然而φt關(guān)于切空間TxM\{0}上的誘導(dǎo)

4、黎曼度量(g)x:=gij(x,y)dyi(⊕)dyj不一定是等距的。若φ*tgσ(t)=gx,則稱F是Landsberg度量。在Finsler幾何中,眾所周知Berwald度量一定是Landsberg度量,而尋找非Berwald型的Landsberg度量成為Finsler幾何中一個(gè)長久存在的公開問題。D.Bao將之命名為獨(dú)角獸問題。
  Landsberg度量也等價(jià)定義為Landsberg曲率L:=Lijkdxi(⊕)dxj(⊕

5、)dxk為零的度量,其中Lijk(x,y):=Cijk;mym。用gjk縮并Lijk產(chǎn)生Ji:=gjkLijk。平均Landsberg曲率J定義為J:=Jidxi。Finsler度量F是弱Landsberg度量當(dāng)且僅當(dāng)J=0。顯然Landsberg度量同時(shí)也是弱Landsberg度量,而反之則不一定。已經(jīng)證明在正則(α,β)-度量中沒有非Berwald型的Landsberg度量而同時(shí)又存在非正則的Landsberg度量不是Berwald

6、度量。我們定義非Berwald型的弱Landsberg度量為廣義獨(dú)角獸,并且在正則(α,β)-度量中研究了廣義獨(dú)角獸的存在性問題。我們證明了:在高維(維數(shù)大于2)空間中,若正則(α,β)-度量F=αφ(s),s=β/α滿足φ(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式,則F是弱Landsberg的充要條件是F是Berwald度量。該結(jié)論說明在多項(xiàng)式型的正則(α,β)-度量中不存在廣義獨(dú)角獸。
  一個(gè)Finsler度量F若滿足方程J+c(x)FI=0,

7、則稱F具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率。其中I為平均Cartan曲率。平方度量是一類特殊的(α,β)-度量具有形式F=(α+β)2/α。我們證明了在高維(維數(shù)大于2)空間中,具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的平方度量一定是Berwald度量。顯然弱Landsberg度量一定具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率。該結(jié)論是屬于對(duì)廣義獨(dú)角獸后續(xù)問題的研究。
  兩個(gè)Finsler度量F與F稱為是共形相關(guān)的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)流

8、形上的數(shù)量函數(shù)κ(x)滿足(F)=eκ(x)F。若一個(gè)Finsler度量F共形相關(guān)于一個(gè)Minkowski度量,則稱F是共形平坦的Finsler度量。我們研究了共形平坦的弱Landsberg(α,β)-度量,得到:若F是共形平坦的弱Landsberg(α,β)-度量,則F或者是黎曼度量,或者是局部Minkowski度量。同時(shí)我們也研究了具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量在共形平坦條件下的分類問題,證明了:共形平坦且

9、具有相對(duì)迷向平均Landsberg曲率的(α,β)-度量F=αφ(s),s=β/α,若滿足φ(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式,則F或者是黎曼度量,或者是局部Minkowski度量。
  Finsler度量F的測地系數(shù)Gi完全由F確定:Gi:=1/4gil(x,y){[F2]xkyl(x,y)yk-[F2]xl(x,y)}。F稱為是Douglas度量當(dāng)且僅當(dāng)測地系數(shù)Gi滿足關(guān)系式Gi=1/2Γijk(x)yjyk+P(x,y)yi,其中Γij

10、k(x)是M上的函數(shù)而P(x,y)是關(guān)于y的一階齊次函數(shù)。我們研究了Douglas型(α,β)-度量間的共形變換,得到:在高維(維數(shù)大于2)空間中,F(xiàn)和F作為共形相關(guān)的兩個(gè)非黎曼的正則(α,β)-度量,若F是既非黎曼又非Randers型的Douglas度量,則F為Douglas度量的充要條件為F和F之間的共形變換是位似變換。
  畸變?chǔ)?=ln[√det(gij(x,y)/σ(x)](σ(x):=Vol(Bn(1))/Vol{(y

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