把柄添加與不可壓縮曲面.pdf

1、三維流形理論是低維拓?fù)鋵W(xué)的重要分支之一。目前，關(guān)于三維流形理論的研究主要有代數(shù)方法、幾何方法和組合方法。在本文中，主要是采用組合方法對(duì)三維流形中的某些閱題進(jìn)行研究. 三維流形中的組合方法，其主要研究對(duì)象是：Dehn手術(shù)、Heegaard分解、把柄添加及流形中的不可壓縮曲面的存在性問題.其中，Heegaard分解與Dehn手術(shù)可以看成是特殊的把柄添加.在本文中，我們對(duì)在雙曲流形上做可約的把柄添加與邊界可約的把柄添加的情況進(jìn)行了細(xì)致

2、的研究。同時(shí)，本文還對(duì)某些流形(如紐結(jié)補(bǔ))中的不可壓縮曲面的構(gòu)造問題進(jìn)行了研究。 1984年，C.Gordon和R.Litherland建立了標(biāo)號(hào)圖論的方法，C.Gordon和J.Luecke發(fā)展了這一方法。此后，組合方法在Dehn手術(shù)的研究中被廣泛應(yīng)用，并取得了很多重大研究成果。接下來，一個(gè)很自然的問題就是能否把標(biāo)號(hào)圖論的方法應(yīng)用到把柄添加中來。M.Scharlemann和吳英青給出了關(guān)于把柄添加的一個(gè)大致的估計(jì)：即令M是雙曲

3、流形，α、β是M的一個(gè)虧格大于或等于2的邊界分支上的兩條本質(zhì)的分離簡單閉曲線，若M[a]和M[β]都是退化的，則△(α，β)≤14。本文對(duì)這一問題進(jìn)行了更為細(xì)致的討論，并建立了把柄添加中標(biāo)號(hào)圖論的弱對(duì)應(yīng)規(guī)則，及發(fā)展了Virtual Scharlemann圈的概念，從而使得很多關(guān)于Dehn手術(shù)的標(biāo)號(hào)圖論的現(xiàn)有結(jié)論可以應(yīng)用到把柄添加中來.進(jìn)而，得到了更為精細(xì)的結(jié)果：在一個(gè)雙曲流形上的虧格為2的邊界分支上，至多有一個(gè)分離的邊界可約把柄添加。這

4、一結(jié)論加上Scharlemann和Wu的結(jié)論以及邱和張的結(jié)論便有：在一個(gè)雙曲流形的虧格為2的邊界分支上，最多有一個(gè)分離的把柄添加使得到的流形為可約流形或邊界可約流形。 流形中的不可壓縮曲面是三維流形理論的重要研究課題之一。已有許多關(guān)于三維流形中的任意大虧格的不可壓縮曲面的存在性方面的結(jié)果.本文構(gòu)造了一類紐結(jié)補(bǔ)中的任意虧格的不可壓縮藍(lán)面：設(shè)k1是一個(gè)具有本質(zhì)的自由2-tangle分解的紐結(jié)，k2是任意一個(gè)不平凡的紐結(jié).設(shè)k為k1和