飛行器設計中的高維函數逼近理論研究.pdf

1、論文從飛行器設計中對曲面構造、方程求解以及代理模型等問題的具體需求出發(fā)，探討了相應的（1)函數逼近空間、（2)具體逼近算法、（3)兩類不確定性重要度的計算以及(4)多元積分的轉換等方面內容。
　　(1)討論了由多重正交級數的星形部分和張成的函數空間。該空間的自由參數數目獨立于問題的維數，且空間中的函數作為給定函數的近似具有較好的收斂速度。主要的結論有：
　　?運用函數正交展開式系數的衰減性來定義部分和，從而使得自由參數數目的

2、增長獨立于維數本身；
　　?給出了星形部分和自由參數數目的增長階與增長界；
　　?基于上述增長界，給出了利用星形部分和逼近已知函數時的誤差界；
　　?由可和性討論給出了高維核插值的一個基本思路。該思路有可能成為徑向基函數插值在高維情形有價值的替代品。
　　(2)引入了一種基于多項式的多分辨分析以及一類多級的Jigsaw擬插值算法。該方法為多元函數與數據提供了一種由粗到細的分級表示方法。主要的結論有：
　　?

3、提出了一種多項式再生的多分辨結構。這種多分辨結構僅依賴于空間的仿緊性，因此可以直接拓展到定義在微分流形上的函數或數據，也可用于微分流形本身的構造；
　　?引入了一族多項式Jigsaw函數以及C⑷的Jigsaw函數，并由此提出了一種多級Jigsaw分解算法，從而得到一個從整體逐漸過渡到局部的空間樹形分解結構；
　　?引入了兩種多項式多級Jigsaw擬插值，并得到了相應的誤差界；
　　?引入了局部誤差估計，并在此基礎上建立

4、了Jigsaw逼近以及Jigsaw變換，由此得到一類自適應逼近。另外還單獨討論了常數Jigsaw擬插值。說明了最優(yōu)分片常數插值的存在性以及該最優(yōu)方法與相應Voronoi圖和Delaunay三角剖分之間的聯(lián)系。
　　(3)給出了High Dimensional Model Representations(HDMR)分解、Sobol指標以及Borgonovo指標的具體計算方法。主要的結論有：
　　?構造了HDMR分解截斷空間的再

5、生核，從而利用核插值的方法估計HDMR分解，并最終對Sobol重要度指標進行估計。在一個較強的假設下，該方法也可以用于高維函數逼近；
　　?根據非參數濾波的思想，將核回歸的方法引入到條件期望E(y|；ri)的估計中，因此能夠同時對H D M R分解以及Sobol重要度指標進行估計。并針對這些估計分析了相應的漸近收斂速度，從而指出其收斂速度不可能高于 N-1/2；
　　?針對Borgonovo矩獨立指標估計中的雙重Monte

6、Carlo(MC)密度估計的問題，分別采取了相應的措施。首先利用一個核估計對條件密度積分進行轉化以避免雙重MC估計，然后又將密度范數的估計轉化為一個正交矩列的估計，從而建立了矩獨立指標的一類快速算法。
　　(4)根據圓柱螺旋線引入了漸近空間的相關概念。借助適當的漸近曲線，可以將任意的高維積分轉化為一個單變量積分，從而可以使用單變量的自適應積分來估計高維積分。主要的結論有：
　　?討論了漸近曲線上的單變量積分與原始多變量積分之