地球電磁場的連續(xù)與間斷有限元三維數(shù)值模擬.pdf

1、電磁法是地球物理勘探中的重要分支。該方法以地球?qū)щ娒劫|(zhì)的物性差異為基礎(chǔ)，通過觀測和分析在其中傳播的電磁場，從而預(yù)測測區(qū)的地下電性結(jié)構(gòu)。經(jīng)過一百多年的發(fā)展，電磁法勘探技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各個勘探領(lǐng)域。隨著油氣和固體礦產(chǎn)資源的日益減少，勘探深度越來越大，地形地質(zhì)條件越來越復(fù)雜，勘探難度也越來越大。在工程應(yīng)用中，施工工藝和質(zhì)量要求的提高也對電磁法勘察提出了更高的要求。除了需要有更高精度的電磁法勘探儀器外，也要求正演算法能應(yīng)對更復(fù)雜的地質(zhì)模型，能提

2、供更高的計算精度和效率。本文研究的正是地球電磁場的高效、高精度算法，具體研究內(nèi)容包括直流電場、頻率域可控源電磁場和時間域電磁場的三維正演。采用的數(shù)值計算方法是基于非結(jié)構(gòu)四面體網(wǎng)格的有限單元法，包括連續(xù)和間斷有限元方法，二者的本質(zhì)區(qū)別在于前者采用連續(xù)的有限維函數(shù)空間逼近真實解，而后者的解空間不連續(xù)。
　　點電源直流電場的正反演技術(shù)已相當(dāng)成熟，而長電極源電場的正演計算卻依然存在許多難點。其中最大的難點是長電極源穿過非均勻媒質(zhì)時其表面的

3、電流密度難以準(zhǔn)確計算。此外，在大測區(qū)中構(gòu)建穿過非均勻媒質(zhì)的細(xì)長電極模型是比較困難的，而任意形狀和傾角的長電極則更難構(gòu)造。同時，長電極的電阻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于圍巖電阻率，若考慮長電極的電阻率進(jìn)行正演計算，將會帶來一個非常病態(tài)的系統(tǒng)，影響求解的收斂速度和數(shù)值解的精度。本文在長電極源直流電場正演中將長電極源近似為電阻率可忽略不計的有限長線電流源，既避免了懸殊的電阻率差異帶來的困難，也免去了構(gòu)建長電極網(wǎng)格模型的麻煩。利用電磁場基本原理推導(dǎo)的長電極源表面

4、電流密度近似公式允許正演模型中長電極穿過非均勻媒質(zhì)。此部分研究采用基于節(jié)點基函數(shù)的連續(xù)有限元方法實現(xiàn)了任意形狀多段長電極源的直流電場，基于總電位和二次電位的正演算法均由解析解驗證了數(shù)值精度。本文首次提出了任意長電極源觀測裝置的視電阻率公式，分析了長電極源和點電源電場的異同。通過地面和井中的數(shù)值模擬算例發(fā)現(xiàn)長電極源裝置對地下異常體的響應(yīng)比點電源裝置更敏感，具有更強的勘探能力。文中還提出了混合雙極供電源裝置（即長電極和點電極配合供電）以彌補

5、測區(qū)中長電極不足的情況，數(shù)值模擬結(jié)果顯示混合供電極同樣能獲得比點電極裝置更強的異常響應(yīng)。最后還進(jìn)行了油田水力壓裂模型的長電極直流電法正演，預(yù)示了油田套管可用作長電極源進(jìn)行水力壓裂過程的監(jiān)測。
　　基于有限元方法的頻率域電磁場正演難點在于電場法向分量不連續(xù)且散度為零，盡管節(jié)點有限元方法的應(yīng)用相當(dāng)成熟，卻不能直接用于求解非均勻媒質(zhì)中的電磁場問題，而只能先求解連續(xù)的矢量勢和標(biāo)量勢，再轉(zhuǎn)換成電磁場，而且在求解矢量勢和標(biāo)量勢時依然要做散度校

6、正才能得到可靠的數(shù)值解?？紤]到以上問題，本文在頻率域可控源電磁場的三維正演中采用的是基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的矢量有限元方法。矢量有限元方法將求解的自由度設(shè)置在剖分單元的棱邊上，只要求待求物理量切向連續(xù)，同時矢量基函數(shù)自動滿足散度為零的條件，因此是直接求解非均勻媒質(zhì)中電磁場的極佳選擇。此部分正演中以電場雙旋度方程作為控制方程，由廣義變分原理得到對應(yīng)的泛函形式再利用矢量有限元離散和求解。截斷邊界采用了索末菲輻射邊界條件，可以得到比齊次邊界條件更好的

7、截斷效果。通過與一維層狀模型的解析解和二維模型的有限元數(shù)值解的對比，驗證了矢量有限元算法的穩(wěn)定性和計算精度。我們還研究了海底地形對海洋可控源電磁勘探的影響，數(shù)值模擬結(jié)果顯示，海底的起伏地形會造成較大的異常，可能掩蓋由海底油氣藏產(chǎn)生的異常，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)考慮海底地形的影響。由于采用的是非結(jié)構(gòu)的四面體網(wǎng)格，本文的頻率域可控源電磁正演算法可進(jìn)行復(fù)雜海底模型中低頻電磁場的正演計算。
　　間斷有限元方法是最近二十年來非常熱門的數(shù)值計算方法

8、，該方法易于實現(xiàn)高階插值，具有天然的并行性，具有處理間斷問題的能力，在計算電磁學(xué)中廣受歡迎，但該方法目前還沒有引入到低頻地球電磁場的計算中。本文完成的第三部分研究正是利用間斷有限元方法實現(xiàn)三維時間域高頻和低頻電磁場的正演，因此既可用于探地雷達(dá)正演，也能用于瞬變電磁場的計算，可實現(xiàn)任意電流輸入波形的電偶極子、磁偶極子和任意形狀大回線源的瞬變電磁正演模擬。在邊界的處理上，采用的是各向異性的完全匹配層。引入完全匹配層后出現(xiàn)了頻率依賴關(guān)系，利用

9、12個輔助變量可以將依賴關(guān)系解耦，從而推導(dǎo)了完全匹配層中的時域麥克斯韋方程組。完全匹配層的存在可以高效的吸收外傳電磁波而不產(chǎn)生明顯反射，因此不需要像常規(guī)的齊次邊界那樣需要將計算域設(shè)得非常大?？臻g離散采用的是層級型的高階正交基函數(shù)，而時間離散則采用高階龍格-庫塔格式。該基函數(shù)的正交性使得單元矩陣變成單元對角陣，而高階的剛度矩陣依然是良態(tài)矩陣，計算復(fù)雜度大大降低。數(shù)值模擬結(jié)果表明數(shù)值解的誤差隨著所采用的基函數(shù)的階數(shù)增加而指數(shù)降低。當(dāng)采用k階