二次域Q（√3）的單位給出的兩個(gè)遞歸數(shù)列中的形數(shù)問(wèn)題研究.pdf

1、本文將對(duì)二次域Q(根號(hào)3)中單位U<,n>+V<,n>根號(hào)3=(2+根號(hào)3)″所給出的兩個(gè)遞歸數(shù)列{U<,n>}、{V<,n>}中的基本形數(shù)——Pronic數(shù)、三角數(shù)、五角數(shù)進(jìn)行研究，給出了完整的結(jié)果。作為應(yīng)用，解決了與其相關(guān)的六個(gè)不定方程問(wèn)題。同時(shí)還給出了一個(gè)由組合設(shè)計(jì)研究產(chǎn)生的不定方程的初等而簡(jiǎn)明的解法。 定理1.當(dāng)且僅當(dāng)n=±1時(shí)，4U<,n>+1為完全平方數(shù)。即{U<,n>)中僅有U<,±1>=2為Pronic數(shù)。

2、 定理2.序列{V<,n>}中僅有V<,0>=0和V<,4>=56為Pronic數(shù)。 定理3.序列{U<,n}中僅有U<,0>=1為三角數(shù)。 定理4.序列{V<,n>}中僅有V<,1>=1、V<,3>=15和V<,6>=780為三角數(shù)。 定理5.當(dāng)且僅當(dāng)，n=0，±1，±2，±3時(shí)，U<,n>是廣義五角數(shù)。其中僅有U<,n>=1是五角數(shù)。 定理6.當(dāng)且僅當(dāng)n=0，1，3時(shí)，V<,n>是廣義五角數(shù)。其中僅

3、有V<,1>=1是五角數(shù)。 定理7.不定方程x<'2>(x+1)<'2>-3y<'2>=1滿(mǎn)足y>0的全部整數(shù)解是(x，y)=(-2，1)，(1，1)． 定理8.不定方程x<'2>-3y<'2>(y+1)<'2>=1滿(mǎn)足x>0的全部整數(shù)解是(x，y)=(1，-1)，(1，0)，(97，-8)，(97，7)． 定理9.不定方程x<'2>(x+1)<'2>-12y<'2>=4的全部整數(shù)解是(x，y)=(-2，0)，(

4、1，0)． 定理10.不定方程4x<'2>-3y<'2>(y+1)<'2>=4滿(mǎn)足x>0的全部整數(shù)解是(x，y)=(2，-2)，(2，1)，(26，-6)，(26，5)，(1351，-40)，(1351，39)． 定理11.不定方程x<'2>(3x-1)<'2>-12y<'2>=4滿(mǎn)足y≥0的全部整數(shù)解是(x，y)=(1，0)，(-1，1)，(-2，4)，(-4，15)． 定理12.不定方程4x<'2>-3y<'