一類擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題多個(gè)變號(hào)解的存在.pdf

1、本文我們將應(yīng)用極大極小方法和Morse理論研究一類擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題多解的存在性和解的變號(hào)性質(zhì)。 設(shè)Ω是RN(N≥1)中的有界區(qū)域，具有光滑邊界()Ω，我們考慮擬線性橢圓方程Dirichlet邊值問題{-△pu=f(x,u),x∈Ω,{u=0,x∈()Ω這里△pu=div(｜()u｜p-2()u)，1＜p＜∞.用p*表示p的Sobolev共軛臨界指數(shù)：p*={Np/N-p,p＜N，{∞，p≥N.設(shè)函數(shù)f：Ω

2、×R→R為Carathédory泛函，滿足增長(zhǎng)性條件(f1)存在常數(shù)C＞0和q∈(1，p*)，使得對(duì)u∈R，x∈Ω，有｜f(x，t)｜≤C(1+｜t｜q-1)成立時(shí)，此時(shí)非線性泛函Ф：W1,p0，(Ω)→Rφ(u)=1/p∫Ω｜()u｜pdx-∫ΩF(x,u)dx有定義，這里F(x，t)=∫t0f(x,s)ds是f(x，u)的原函數(shù)。進(jìn)而泛函Ф是一次Fréchet可微，它的Fréchet導(dǎo)數(shù)表示為(Ф;(u)，v)=∫Ω｜()u｜p-2

3、()u()udx-∫Ωf(x,u)udx,()u,u∈W1,p0(Ω).所以方程(Dp)的弱解等同于泛函Ф的臨界點(diǎn)。于是求方程(Dp)的弱解等價(jià)于求泛函Ф的臨界點(diǎn)。 現(xiàn)在我們陳述本文的主要條件和結(jié)論。在本文中我們總是假設(shè)函數(shù)f：Ω×R→R是連續(xù)函數(shù)(從而是Carathédory函數(shù))，滿足次臨界增長(zhǎng)性條件(f1)，且滿足f(x，0)≡0，因而方程(Dp)有一個(gè)平凡解u=0.我們的目的是求方程的非平凡解。不失一般性，我們假設(shè)問題(

4、Dp)有有限個(gè)解。非平凡解的存在性取決于f(x，t)或它的原函數(shù)F(x，t)在原點(diǎn)0及無窮遠(yuǎn)的性質(zhì)。 我們假設(shè)以下條件：(f2)lim｜t｜→∞pE(x,t)/t｜p＜λ1,(f3)存在ρ＞0，λ＞λ2，使得當(dāng)0＜｜u｜≤ρ時(shí)，F(xiàn)(x，t)≥λ/p｜t｜p.本文的主要結(jié)果是定理1設(shè)(f2)，(f3)成立，則方程(Dp)有兩個(gè)非平凡解，其中一個(gè)是正解u1，一個(gè)是負(fù)解u2.若方程(Dp)只有這兩個(gè)定號(hào)解，則它還有一個(gè)變號(hào)的山路型非平