算子范數(shù)局部化性質(zhì).pdf

1、非緊流形上的指標(biāo)理論是上個(gè)世紀(jì)七十年代M.Atiyah和I.Singer在覆蓋空間上橢圓算子的指標(biāo)公式的研究基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一門新興學(xué)科,其要點(diǎn)在于覆蓋空間上的橢圓算子相對(duì)于它的基本群的約化群C*-代數(shù)是廣義的Fredholm算子。對(duì)于一些特殊的非緊流形上解析指標(biāo)的研究,已經(jīng)取得了一些進(jìn)展,比如A.Connes和G.Skandalis建立起了葉狀空間的指標(biāo)理論;A.Connes和H.Moscovici建立起了齊次空間的指標(biāo)理論及其覆蓋空

2、間的高指標(biāo)理論,等等。但是解析指標(biāo)的計(jì)算是一件異常困難的問(wèn)題,大大阻礙了指標(biāo)理論的發(fā)展。
　　 事實(shí)上,非緊流形上廣義橢圓算子的K-理論指標(biāo)并不依賴于流形的局部幾何,而是依賴于流形的大尺度幾何結(jié)構(gòu)。八十年代末,J.Roe對(duì)一般的非緊完備流形的指標(biāo)定理進(jìn)行了研究,在指標(biāo)定理熱方程方法的啟發(fā)下,他通過(guò)控制局部緊算子在幾何空間上的傳播速度,引入了一類C*-代數(shù),即Roe代數(shù)。它不僅反映了幾何空間的粗結(jié)構(gòu)特征,而且廣義橢圓算子的指標(biāo)就是

3、落在Roe代數(shù)的K-群之中。從幾何空間的一個(gè)容易計(jì)算的幾何不變量,即粗化K-同調(diào)群,到Roe代數(shù)的K-理論群有一個(gè)指標(biāo)映射,粗Baum-Connes猜測(cè)斷言這個(gè)指標(biāo)映射為同構(gòu),從而提供了計(jì)算Roe代數(shù)K-理論群的有效途徑。它是聯(lián)系大尺度幾何拓?fù)洳蛔兞颗c分析不變量之間的橋梁,并應(yīng)用于解決其他重要問(wèn)題,如Novikov猜測(cè)、Gromov-Lawson-Rosenberg正標(biāo)量曲率猜測(cè)、群C*-代數(shù)冪等元等問(wèn)題。因此,粗幾何上指標(biāo)理論的中心問(wèn)

4、題就是解決粗Baum-Connes猜測(cè)。
　　 Baum-Connes猜想的研究最近幾年已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展,最著名的是2000年Yu(郁國(guó)梁)在[78]中證明了:如果度量空間X可以粗嵌入到Hilbert空間中,則X上的粗Baum-Connes猜想成立.在隨后的很長(zhǎng)一段時(shí)間里,都沒(méi)有人能夠找到反例。第一個(gè)不滿足Yu的框架的例子來(lái)自Gromov的擴(kuò)張圖,并且證明了它不能粗嵌入到任何的一致凸Banach空間中。Higson在文[45

5、]中應(yīng)用Gromov的擴(kuò)張圖的結(jié)構(gòu),給出了粗Baum-Connes的一個(gè)反例。V.Laforgue[49]應(yīng)用有性質(zhì)T的有限剩余群Γ,構(gòu)造了盒子空間X(Γ),它是有限商空間序列Γ/Γn的無(wú)交并集,并且他發(fā)現(xiàn)X(Γ)包含一擴(kuò)張圖作為子圖。
　　 最近,Gong,Wang和Yu在文[77]中研究了有性質(zhì)T的無(wú)限群和它的盒子空間的Novikov猜測(cè),建立了Γ的強(qiáng)Novikov猜測(cè)與X(Γ)的粗幾何Novikov猜測(cè)之間的聯(lián)系。由于很多

6、具有性質(zhì)T的無(wú)限群,它的強(qiáng)Novikov猜想是成立的,這樣就證明了粗幾何Novikov猜想對(duì)一大類擴(kuò)張圖也是成立的。在Higson的原始構(gòu)造[44]和Gong,Wang和Yu在文[77]的構(gòu)造都用到了一個(gè)代數(shù)提升原理,即:對(duì)任意的算子T∈Calg*(X(Γ)),存在充分大的N,使得當(dāng)n>N時(shí),算子T可以限制成為Calg*(Γ/Γn)中的算子Tn,且算子Tn可以提升成為代數(shù)Calg*(|Γ|)中Γn-不變的元素。通常,提升可以延拓到代數(shù)C

7、alg*(|Γ|)在極大范數(shù)下的閉包中[77]。Higson發(fā)現(xiàn),當(dāng)Γ的漸進(jìn)維數(shù)是有限的時(shí)候,應(yīng)用某種算子范數(shù)局部化估計(jì)的技巧,可以把算子提升到Calg*(|Γ|)的約化閉包中,這一點(diǎn)在構(gòu)造粗Baum-Connes猜想的反例時(shí)是極為重要的。一個(gè)自然的問(wèn)題要問(wèn):在什么樣的幾何條件下,可以保證代數(shù)層面上的提升能夠延拓到約化閉包層面上?在這樣的背景下,Yu歸納了有限漸進(jìn)維時(shí)的情形,提出了算子范數(shù)局部化性質(zhì)的概念。
　　 本文應(yīng)用粗幾何

8、的方法,給出一類空間上的算子范數(shù)的局部化性質(zhì),并在此基礎(chǔ)之上,進(jìn)一步刻畫算子范數(shù)局部化性質(zhì)在哪些運(yùn)算下是保持的。
　　 本文的安排如下:
　　 首先在第一章,作者簡(jiǎn)單介紹了算子范數(shù)的局部化性質(zhì)的提出背景及其與指標(biāo)理論之間的關(guān)系,回顧了相關(guān)理論的研究歷史與現(xiàn)狀,并列出本文的主要結(jié)果。
　　 在第二章,作者在第一節(jié)中,給出算子范數(shù)局部化性質(zhì)的相關(guān)定義,以及粗幾何上的一些準(zhǔn)備知識(shí)、并且給出算子范數(shù)局部化性質(zhì)的一些基本性

9、質(zhì);在第二節(jié)中,證明了算子范數(shù)局部化性質(zhì)是一粗幾何性質(zhì),即,在粗等價(jià)下保持不變;在第三節(jié)中,簡(jiǎn)要的介紹了度量稀疏化性質(zhì),并證明了它的粗不變性,并且討論了它與算子范數(shù)局部化性質(zhì)之間的聯(lián)系;在第四節(jié)中,給出一些具有算子范數(shù)局部化性質(zhì)的非平凡例子,由此指出了算子范數(shù)局部化性質(zhì)的提出具有廣泛的一般性和概括性,并指出對(duì)其研究的困難和意義。
　　 在第三章,作者在第一節(jié)證明了算子范數(shù)局部化性質(zhì)在群的定向極限下的不變性;在第二節(jié)中,指出它具有

10、延拓性;在第三節(jié)中,研究了群在度量空間上的作用,得到了算子范數(shù)局部化性質(zhì)在群作用下的遺傳性;在第四節(jié)中,證明了一個(gè)關(guān)鍵性的定理,即:無(wú)限并集定理,由此我們知道如果兩個(gè)區(qū)域具有算子范數(shù)的局部化性質(zhì),則它們的并也具有算子范數(shù)局部化性質(zhì),并且它們的控制常數(shù)幾乎保持不變。
　　 在第四章中,作者應(yīng)用第三章證明的無(wú)限并集定理,對(duì)相對(duì)雙曲群,群之間的自由積、融合積,群圖的基本群等,證明了它們?cè)谶@些運(yùn)算下是保持算子范數(shù)局部化性質(zhì)的。