面波和地球自由振蕩的本征模理論.pdf

1、本征模因?yàn)樯婕暗揭粋€(gè)物理系統(tǒng)的固有性質(zhì)，所以對(duì)于我們認(rèn)識(shí)和反演振蕩系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)具有獨(dú)特的意義。研究一個(gè)本征系統(tǒng)首先就需要求解其本征頻率和本征函數(shù)。然而，即便是對(duì)一維的介質(zhì)模型，通常因其所具有的特殊性質(zhì)（如含有低速層、水層，或者層速遞減），使得某些本征模的計(jì)算精度很低甚至?xí)┦У?。面波和地球自由振蕩因?yàn)檠芯康某叨炔煌?，?dǎo)致需要考慮的物理?xiàng)l件有些差異，進(jìn)而導(dǎo)致數(shù)學(xué)描述和控制方程的不同，但二者在所面對(duì)的問(wèn)題和處理手段上仍有很多的共性。高頻情

2、況下的計(jì)算不穩(wěn)定所帶來(lái)的數(shù)值精度丟失和某些能量集中在模型內(nèi)部的某些區(qū)域的振型計(jì)算不準(zhǔn)，便是二者會(huì)遇到的問(wèn)題。對(duì)于面波來(lái)說(shuō)，人們已經(jīng)基于最初的Thomson-Haskell矩陣方法作了種種改進(jìn)來(lái)解決計(jì)算不穩(wěn)定問(wèn)題，而用數(shù)值積分法來(lái)求解本征值問(wèn)題，無(wú)論是面波還是自由振蕩，都轉(zhuǎn)而用“minors”來(lái)將原始的常微分方程組化為一個(gè)更高階的形式，但也只是從數(shù)學(xué)的角度減輕這個(gè)問(wèn)題。最關(guān)鍵的是，常規(guī)的求解方式并沒(méi)有考慮不同本征模的振蕩特點(diǎn)，而是一律地使

3、用在自由表面的久期方程來(lái)搜索所有的振型。
　　若已知一個(gè)均勻?qū)又械慕馕鼋饣蚍蔷鶆驅(qū)又性诟哳l情況下的漸近解，就可借助廣義反透射系數(shù)，靈活地構(gòu)造久期方程，來(lái)適應(yīng)不同振型的傳播特點(diǎn)，從而可以高精度、快速、穩(wěn)定地求解所提出的本征值問(wèn)題。對(duì)于面波來(lái)說(shuō)，根據(jù)已有的久期函數(shù)族的概念，我們用數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明，只需在通常使用的地表久期方程的基礎(chǔ)上，加上所有對(duì)應(yīng)于模型低速層、固液邊界處的久期方程，便能夠搜出給定頻率下的所有物理上存在的振型。這樣，就能保證

4、在任意深度下借助振型疊加法合成的面波地震圖是精確的，這一點(diǎn)對(duì)于表達(dá)深處激發(fā)的地震響應(yīng)尤為重要。我們還將簡(jiǎn)正振型的計(jì)算拓展到漏能振型，這樣在用面波的頻散曲線來(lái)反演速度結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以避免因?qū)⒙┠苷裥妥R(shí)別為簡(jiǎn)正振型帶來(lái)反演的誤差;又可將簡(jiǎn)正振型的頻散曲線進(jìn)行自然延伸，以解決層速遞減情況下某些頻率段頻散曲線缺失的情況。我們還研究了與模型的特殊性相聯(lián)系的特殊振型，如fundamental modes、trapped modes、Stoneley

5、modes，同時(shí)還無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了不完全滿足輻射邊界條件的輻射振型(radiation modes)。我們對(duì)模型存在低速層時(shí)如何定義具有物理意義的fundamental mode作出了討論，指出trapped modes與其同一頻率下的鄰近振型無(wú)論相速度多么靠近，也不會(huì)重合成一個(gè)振型，這一點(diǎn)可由二者的本征函數(shù)看出，證明了頻散曲線的不可交叉性。最后還指出，在廣義反透射系數(shù)和久期函數(shù)族的理論框架之下，通過(guò)簡(jiǎn)正振型疊加和對(duì)輻射振型的積分，便可合成

6、包含體波震相的完整理論地震圖，這是合成完整理論地震圖的另一種方法。精確計(jì)算一維情況下的本征模也就構(gòu)成了根據(jù)現(xiàn)存的mode-coupling的方法來(lái)研究橫向非均勻性的基礎(chǔ)。
　　我們進(jìn)一步將廣義反透射系數(shù)和久期函數(shù)族的思想推廣到解決高頻情況下的自由振蕩本征值問(wèn)題中。在推導(dǎo)出了用Langer近似表達(dá)的應(yīng)用于非均勻球殼的零階漸近解之后，我們便將面波理論的公式體系移植過(guò)來(lái)，給出了求解環(huán)型振蕩和球型振蕩的數(shù)值算法。通過(guò)選擇合適的艾里函數(shù)的組

7、合來(lái)調(diào)整解的行為，我們成功地求解了環(huán)型振蕩的漸近本征解。通過(guò)比較，所得的結(jié)果不光不存在WKBJ方法因其固有的局限性所導(dǎo)致的頻散曲線的不連續(xù)跳躍，而且在求解的精度上也有明顯的提升;與Mineos精確解相比，則吻合得很好，且在高頻情況下，二者的差異更小。這樣，就有可能高精度地計(jì)算諸如斯通利振型等能量達(dá)到地表已經(jīng)很弱的振型，而且不必像Mineos數(shù)值求解那樣需要對(duì)模型的徑向節(jié)點(diǎn)加密來(lái)提高這些振型的計(jì)算精度。這也為一維地球模型自由振蕩本征解的計(jì)

8、算提供了另一種方法。
　　有了一維情況下的本征函數(shù)，我們就可將其作為基函數(shù)，通過(guò)瑞利-里茨方法來(lái)表達(dá)三維地球模型的本征解。從不包含自轉(zhuǎn)且為彈性的地球模型出發(fā)過(guò)渡到包含自轉(zhuǎn)和非彈性的一般地球模型，我們將相關(guān)理論進(jìn)行了逐步展開(kāi)，整個(gè)表述中一致地采用復(fù)球諧函數(shù)（complex surface spherical harmonics），簡(jiǎn)潔又不失完整地概述了處理這種偏離球?qū)ΨQ因素(aspherities)的微擾理論。通過(guò)對(duì)某些低階振型的自