關(guān)于自仿射集的若干問題研究.pdf

1、本文大致由兩部分組成,第一部分內(nèi)容研究一類自仿射集的廣義多重分形譜；第二部分內(nèi)容將自仿Sierpinski地毯的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一定程度的推廣,并利用這一推廣的幾何結(jié)構(gòu)討論了自仿Sierpinski地毯的平移交問題。 第一部分內(nèi)容安排在第二至四章,將第二部分內(nèi)容安排在第五章。第二章我們研究了一類由組頻率誘導(dǎo)的自仿Sierpinski地毯的子集的Hausdorff維數(shù)。其困難在于由于仿射背景導(dǎo)致其自然覆蓋不是一個(gè)有效的覆蓋以及由于某

2、些點(diǎn)的頻率可能不存在導(dǎo)致維數(shù)估計(jì)的困難。利用密度定理,我們得到了其Hausdorff維數(shù)譜,并找到了Hausdorff維數(shù)有顯式表達(dá)的一類稠密子集；進(jìn)而研究了其Hausdorff測(cè)度性質(zhì),給出了對(duì)應(yīng)的Hausdorff測(cè)度為正有限的充分必要條件,進(jìn)一步地,證明了當(dāng)條件不滿足時(shí),其Hausdorff測(cè)度為無窮。第三章我們研究了一類組頻率具有比例關(guān)系的自仿Sierpinski地毯的子集。利用測(cè)度的Hausdorff維數(shù),我們證明了：存在一個(gè)

3、滿維概率測(cè)度支撐這一類集合,從而得到了其Hausdorff維數(shù)譜,這一結(jié)果可類比于在自共形情形得到的關(guān)于Hausdorff維數(shù)的變分原理。特別地,給出了其Hausdorff維數(shù)有顯式表達(dá)的一個(gè)充分條件；得到了對(duì)應(yīng)的Hausdorff度為正有限的充分必要條件。第四章我們研究了一類由“纖維”碼誘導(dǎo)的Lalley自仿集。利用網(wǎng)測(cè)度技巧,我們建立了此情形下的密度定理,利用它得到了其Hausdorff維數(shù)和Packing維數(shù),證明了它是一個(gè)正則集

4、,而Lalley自仿集不是正則集。 第二部分內(nèi)容安排在第五章,我們將自仿Sierpinski地毯的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了-定程度的推廣,得到了一個(gè)我們稱為變尺度的自仿Sierpinski地毯,本質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)自仿射集.關(guān)于自仿Sierpinski地毯的隨機(jī)化有很多方式,Lalley利用分枝過程有關(guān)技巧研究了一種隨機(jī)化自仿Sierpinski地毯,它要求在自仿Sierpinski地毯的幾何構(gòu)造的每一步隨機(jī)選擇保留下來的長(zhǎng)方形,但不同步驟限定的

5、是同一個(gè)壓縮,得到了一些高度不平凡的結(jié)果；本文對(duì)自仿Sierpinski地毯的隨機(jī)化,在自仿Sierpinski地毯的幾何構(gòu)造中不同步驟允許不同的壓縮,但同一級(jí)的壓縮中各個(gè)被保留下來的長(zhǎng)方形的位置和個(gè)數(shù)是相同的。通過引進(jìn)“混合”測(cè)度,在-定技術(shù)條件限制下,我們證明了：存在一個(gè)滿維不變概率測(cè)度支撐變尺度的自仿Sierpinski地毯,從而得到了其Hausdorff維數(shù),同時(shí)得到了其Packing維數(shù)和Box維數(shù)。利用這一結(jié)構(gòu),借鑒Cant