簡介:第3章MATLAB矩陣分析與處理,31特殊矩陣32矩陣結(jié)構(gòu)變換33矩陣求逆與線性方程組求解34矩陣求值35矩陣的特征值與特征向量36矩陣的超越函數(shù),31特殊矩陣311通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有ZEROS產(chǎn)生全0矩陣零矩陣。ONES產(chǎn)生全1矩陣幺矩陣。EYE產(chǎn)生單位矩陣。RAND產(chǎn)生0~1間均勻分布的隨機矩陣。RANDN產(chǎn)生均值為0,方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機矩陣。,,例31分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。1建立一個33零矩陣。ZEROS32建立一個32零矩陣。ZEROS3,23設(shè)A為23矩陣,則可以用ZEROSSIZEA建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。A123456產(chǎn)生一個23階矩陣AZEROSSIZEA產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣,,例32建立隨機矩陣1在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。2均值為06、方差為01的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下X205020RAND5Y06SQRT01RANDN5此外,常用的函數(shù)還有RESHAPEA,M,N,它在矩陣總元素保持不變的前提下,將矩陣A重新排成MN的二維矩陣。,,例32建立隨機矩陣1在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。2均值為06、方差為01的5階正態(tài)分布隨機矩陣。命令如下X205020RAND5Y06SQRT01RANDN5此外,常用的函數(shù)還有RESHAPEA,M,N,它在矩陣總元素保持不變的前提下,將矩陣A重新排成MN的二維矩陣。,,312用于專門學(xué)科的特殊矩陣1魔方矩陣魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì),其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于N階魔方陣,其元素由1,2,3,,N2共N2個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)MAGICN,其功能是生成一個N階魔方陣。,,例33將101125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中,使其每行每列及對角線的和均為565。M100MAGIC5,,2范得蒙矩陣范得蒙VANDERMONDE矩陣最后一列全為1,倒數(shù)第二列為一個指定的向量,其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積??梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中,函數(shù)VANDERV生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如,AVANDER1235即可得到上述范得蒙矩陣。,,3希爾伯特矩陣在MATLAB中,生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是HILBN。使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中,有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)INVHILBN,其功能是求N階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。,,例34求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下FORMATRAT以有理形式輸出HHILB4HINVHILB4,,4托普利茲矩陣托普利茲TOEPLITZ矩陣除第一行第一列外,其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是TOEPLITZX,Y,它生成一個以X為第一列,Y為第一行的托普利茲矩陣。這里X,Y均為向量,兩者不必等長。TOEPLITZX用向量X生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如TTOEPLITZ16,,5伴隨矩陣MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是COMPANP,其中P是一個多項式的系數(shù)向量,高次冪系數(shù)排在前,低次冪排在后。例如,為了求多項式的X37X6的伴隨矩陣,可使用命令P1,0,7,6COMPANP,,6帕斯卡矩陣我們知道,二次項XYN展開后的系數(shù)隨N的增大組成一個三角形表,稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡PASCAL矩陣。函數(shù)PASCALN生成一個N階帕斯卡矩陣。,,例35求XY5的展開式。在MATLAB命令窗口,輸入命令PASCAL6矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。,,32矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換321對角陣與三角陣1.對角陣只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣,對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣,對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。,,1提取矩陣的對角線元素設(shè)A為MN矩陣,DIAGA函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素,產(chǎn)生一個具有MINM,N個元素的列向量。DIAGA函數(shù)還有一種形式DIAGA,K,其功能是提取第K條對角線的元素。2構(gòu)造對角矩陣設(shè)V為具有M個元素的向量,DIAGV將產(chǎn)生一個MM對角矩陣,其主對角線元素即為向量V的元素。DIAGV函數(shù)也有另一種形式DIAGV,K,其功能是產(chǎn)生一個NNNM|K|對角陣,其第K條對角線的元素即為向量V的元素。,,例36先建立55矩陣A,然后將A的第一行元素乘以1,第二行乘以2,,第五行乘以5。A17,0,1,0,1523,5,7,14,164,0,13,0,2210,12,19,21,311,18,25,2,19DDIAG15DA用D左乘A,對A的每行乘以一個指定常數(shù),,2.三角陣三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣,所謂上三角陣,即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣,而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。,,1上三角矩陣求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是TRIUA。TRIUA函數(shù)也有另一種形式TRIUA,K,其功能是求矩陣A的第K條對角線以上的元素。例如,提取矩陣A的第2條對角線以上的元素,形成新的矩陣B。2下三角矩陣在MATLAB中,提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是TRILA和TRILA,K,其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)TRIUA和TRIUA,K完全相同。,,322矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1.矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運算符是單撇號’。2.矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)ROT90A,K將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的K倍,當(dāng)K為1時可省略。,,3.矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換,第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換,,依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是FLIPLRA。4.矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是FLIPUDA。,,33矩陣求逆與線性方程組求解331矩陣的逆與偽逆對于一個方陣A,如果存在一個與其同階的方陣B,使得ABBAII為單位矩陣則稱B為A的逆矩陣,當(dāng)然,A也是B的逆矩陣。求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作,容易出錯,但在MATLAB中,求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)INVA。,,如果矩陣A不是一個方陣,或者A是一個非滿秩的方陣時,矩陣A沒有逆矩陣,但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B,使得ABAABABB此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆,也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中,求一個矩陣偽逆的函數(shù)是PINVA。,332用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組AXB兩邊各左乘A1,有A1AXA1B由于A1AI,故得XA1B例38用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下A1,2,31,4,91,8,27B5,2,6XINVAB也可以運用左除運算符“\”求解線性代數(shù)方程組。,34矩陣求值,341方陣的行列式把一個方陣看作一個行列式,并對其按行列式的規(guī)則求值,這個值就稱為所對應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中,求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是DETA。,,342矩陣的秩與跡1.矩陣的秩矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中,求矩陣秩的函數(shù)是RANKA。2.矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和,也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中,求矩陣的跡的函數(shù)是TRACEA。,,343向量和矩陣的范數(shù)矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義,其定義不同,范數(shù)值也就不同。,,1.向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在MATLAB中,求向量范數(shù)的函數(shù)為1NORMV或NORMV,2計算向量V的2范數(shù)。2NORMV,1計算向量V的1范數(shù)。3NORMV,INF計算向量V的∞范數(shù)。,,2.矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù),其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。,,344矩陣的條件數(shù)在MATLAB中,計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是1CONDA,1計算A的1范數(shù)下的條件數(shù)。2CONDA或CONDA,2計算A的2范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。3CONDA,INF計算A的∞范數(shù)下的條件數(shù)。,,35矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中,計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是EIGA,常用的調(diào)用格式有3種1EEIGA求矩陣A的全部特征值,構(gòu)成向量E。2V,DEIGA求矩陣A的全部特征值,構(gòu)成對角陣D,并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。,,3V,DEIGA,‘NOBALANCE’與第2種格式類似,但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量,而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。,,例39用求特征值的方法解方程。3X57X45X22X180P3,7,0,5,2,18ACOMPANPA的伴隨矩陣X1EIGA求A的特征值X2ROOTSP直接求多項式P的零點,36矩陣的超越函數(shù)1.矩陣平方根SQRTMSQRTMA計算矩陣A的平方根。2.矩陣對數(shù)LOGMLOGMA計算矩陣A的自然對數(shù)。此函數(shù)輸入?yún)?shù)的條件與輸出結(jié)果間的關(guān)系和函數(shù)SQRTMA完全一樣,,3.矩陣指數(shù)EXPM、EXPM1、EXPM2、EXPM3EXPMA、EXPM1A、EXPM2A、EXPM3A的功能都求矩陣指數(shù)EA。4.普通矩陣函數(shù)FUNMFUNMA,‘FUN’用來計算直接作用于矩陣A的由‘FUN’指定的超越函數(shù)值。當(dāng)FUN取SQRT時,F(xiàn)UNMA,‘SQRT’可以計算矩陣A的平方根,與SQRTMA的計算結(jié)果一樣。,,
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