圖的特征值.pdf

1、圖譜理論是圖論研究的一個(gè)非?；钴S的重要領(lǐng)域，它在量子化學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、通信網(wǎng)絡(luò)及信息科學(xué)中均有一系列重要應(yīng)用。圖譜理論的研究主要是利用線性代數(shù)、矩陣?yán)碚摰瘸墒斓拇鷶?shù)理論和技巧，并結(jié)合圖論和組合數(shù)學(xué)的理論來(lái)研究圖譜及其與圖的結(jié)構(gòu)性質(zhì)以及與圖的其它參數(shù)(如色數(shù)、度序列、直徑、連通度等)之間的關(guān)系，它將圖與網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)性質(zhì)與其拓?fù)湫再|(zhì)緊密結(jié)合在一起。 在圖譜理論中人們引入了多種矩陣，諸如圖的鄰接矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣、距離矩陣、拉普拉斯矩陣、規(guī)范

2、拉普拉斯矩陣等等，這些矩陣與圖的結(jié)構(gòu)都有著密切的聯(lián)系。圖譜理論的一個(gè)主要問(wèn)題就是研究圖的性質(zhì)能否以及如何由這些矩陣的代數(shù)性質(zhì)反映出來(lái)，這里所指的矩陣的代數(shù)性質(zhì)，主要指矩陣的特征值。 上面所提到的各種矩陣中，最重要的就是圖的鄰接矩陣和圖的拉普拉斯矩陣。本文首先較詳細(xì)地介紹了圖的鄰接矩陣和圖的拉普拉斯矩陣特征值中幾個(gè)重要課題的研究概況，然后分四部分介紹了我們圍繞這些課題所取得的主要研究成果。本文所得的主要結(jié)論有： 一.在第二

3、章中我們討論圖的鄰接譜半徑(即鄰接矩陣最大的特征值)，確定了直徑為n-4的所有n(n≥9)階連通圖中取得最小鄰接譜半徑的圖，所得結(jié)果正面回答了文獻(xiàn)[93](E.R.vanDam，R.E.Kooij，The minimal spectral radius of graphs with a given diameter，Linear Algebra Appl.423(2007)408-419)中的一個(gè)問(wèn)題，這同時(shí)也是[93]中猜想8中的一種

4、情形。 用U(n，△)表示最大度為△的n階單圈圖的集合。當(dāng)△≥(n+3)/2時(shí)，我們確定了U(n，△)中鄰接譜半徑達(dá)到最大的圖；證明了結(jié)論當(dāng)△(G)≥「7n/9」+1時(shí)，n(n≥30)階單圈圖G的鄰接譜半徑ρ(G)是其最大度△(G)的嚴(yán)格增函數(shù)。 二.在第三章中我們討論圖的零度，即圖的鄰接特征值0的重?cái)?shù)。用η(G)表示圖G的零度。通過(guò)利用圖的鄰接特征值的幾個(gè)經(jīng)典結(jié)論，我們分別刻畫了η(G)=n-2的所有n階圖和η(G)=

5、n-3的所有n階圖；證明了結(jié)論：n階(n≥6)雙圈圖的零度集合是＜0，n-4>，并且刻畫了η(G)=n-4的所有n階(n≥9)雙圈圖和η(G)=n-5的所有n階(n≥10)雙圈圖。 三.在第四章中我們討論樹的拉普拉斯譜半徑(即拉普拉斯矩陣最大的特征值)。用T(n，△)表示最大度為△的n階樹的集合。利用圖的變形技巧以及特征多項(xiàng)式的一些技巧我們分別確定了當(dāng)△≥(n+1)/2時(shí)，T(n，△)中拉普拉斯譜半徑達(dá)到最大和次大的樹，以及T(

6、n，△)中拉普拉斯譜半徑達(dá)到最小的樹；證明了結(jié)論當(dāng)△(T)≥(n+3)/2時(shí)，n(n≥4)階樹T的拉普拉斯譜半徑是其最大度△(T)的嚴(yán)格增函數(shù)。 用T(2k)表示2k階具有完美匹配的樹的集合。通過(guò)將T(2k)中樹分類，我們確定了T(2k)中拉普拉斯譜半徑的第二大至第六大值，并確定了達(dá)到這些值的相應(yīng)的樹。 四.在第五章中我們討論樹的代數(shù)連通度(即拉普拉斯矩陣次小的特征值)。樹T的代數(shù)連通度α(T)和其Perron分支的Bo