古典概型問題及其應(yīng)用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　古典概型問題及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：古典概型是一種最常見的概率模型,在經(jīng)濟(jì)和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用

3、.本文簡(jiǎn)略地綜述了概率論的發(fā)展史,歸納了古典概型的條件和計(jì)算方法.例舉了古典概率在日常生活的中的各種應(yīng)用.對(duì)求解古典概型問題的解題方法進(jìn)行了總結(jié).文中還利用古典概型的解題思路舉了一些幾何概率問題。這樣的做法，有利于拓寬知識(shí)面，擴(kuò)大理論的適用范圍，同時(shí)能加深對(duì)古典概型的掌握程度。</p><p>　　關(guān)鍵詞：古典概型；古典算法；應(yīng)用；幾何概率</p><p>　　Classical Prob

4、ability Model and Its Application</p><p>　　Abstract: Classical probability model is one of the most common probability model of economic and everyday life in a wide range of applications. This paper briefly

5、reviews the development history, summarizes the probability of classical probability model conditions and calculation method of classical probability. Enumerated in the daily life of the various applications. The probabi

6、lity model of solving the problem of classical solution method. The paper also summarizes using classical probabilit</p><p>　　Keywords: classical probability model; Classical algorithms; Application; Geometr

7、ic probability</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 概率論的發(fā)展過程1</p><p><b>　　1.1 序言2</b></p><p>　　1.2 概率的概念2</p><p>　　2 古典概型的例題分析4<

8、/p><p>　　2.1古典精典例題4</p><p>　　2.1.1 點(diǎn)數(shù)問題4</p><p>　　2.1.2排列組合知識(shí)4</p><p>　　2.1.3 古典概型的兩個(gè)實(shí)際模型7</p><p>　　2.1.4 古典概型重難點(diǎn)分析8</p><p>　　2.2 幾何概率問題14

9、</p><p>　　2.2.1蒲豐投針14</p><p>　　2.2.2 幾何概率例題15</p><p>　　3 古典概型應(yīng)用舉例18</p><p>　　3.1 古典概型在生活中的應(yīng)用19</p><p>　　3.2 古典概型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用20</p><p>　　3.3古典概

10、型在其它領(lǐng)域中的應(yīng)用21</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p>　　1 概率論的發(fā)展過程</p><p>　　17世紀(jì)，隨著資本主義經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)的興起，一個(gè)以解析幾何和微積分為標(biāo)志的數(shù)學(xué)時(shí)代誕生了。但是人們已不滿足于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中

11、的必然現(xiàn)象及其規(guī)律的研究，轉(zhuǎn)而投向?qū)ε既滑F(xiàn)象的研究。</p><p>　　最早研究概率的，可能要算十六世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)教授卡爾達(dá)諾，他天資聰明，有著有趣而豐富的經(jīng)歷。在一生中超過40年的時(shí)間里，他幾乎每天都參與賭博，而且是帶著數(shù)學(xué)的頭腦去觀察、去思考。最終，在一本名叫《機(jī)會(huì)性游戲手冊(cè)》的書中，他公布了調(diào)查和思考的結(jié)果和關(guān)于賭博實(shí)踐的體會(huì)。這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版[1]。書

12、中已包含了等可能性事件的概率的思想萌芽，即一個(gè)特殊結(jié)果的概率是所有達(dá)到這個(gè)結(jié)果的可能方法的數(shù)目被一個(gè)事件的所有可能結(jié)果的總和所除。從書中可以看到關(guān)于骰子的問題由經(jīng)驗(yàn)向理論概率思想的第一次轉(zhuǎn)變。從這一角度來講，概率論這一數(shù)學(xué)分支應(yīng)當(dāng)以此作為起點(diǎn)，但是這種觀點(diǎn)并未得到廣泛的認(rèn)可.。</p><p>　　數(shù)學(xué)史學(xué)家大多贊同這樣一個(gè)觀點(diǎn)：“點(diǎn)數(shù)問題”的解法的探討成為數(shù)學(xué)化概率學(xué)科產(chǎn)生的標(biāo)志之一。在概率論的歷史上，一般的傳

13、統(tǒng)觀點(diǎn)則把這一事件看作為概率論的起始標(biāo)志?；莞怪肋@個(gè)“點(diǎn)數(shù)問題”后，也加入討論并將他的解法寫入《論賭博中的計(jì)算》一書，這是概率論最早的論著。</p><p>　　十七、十八世紀(jì)之交，有不少的數(shù)學(xué)家從事過概率的研究。伯努利的巨著《猜度術(shù)》就是一項(xiàng)重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大數(shù)定理”的最早形式，之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推進(jìn)。</p><p>　　十八世紀(jì)，法國的布豐在《

14、概率算術(shù)試驗(yàn)》中導(dǎo)入“投針問題”，用頻率來近似地代替概率，可以完全不借助幾何知識(shí)和方法，求出“π”的結(jié)果。</p><p>　　十九世紀(jì)，概率論有了飛躍的進(jìn)展，拉普拉斯的經(jīng)典著作《分析概率論》總結(jié)了這一時(shí)代的概率論的研究，提出了概率的古典定義。高斯奠定了最小二乘法和誤差論的基礎(chǔ)。泊松推廣了“大數(shù)定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的學(xué)生馬爾可夫分別創(chuàng)建了“大數(shù)定律”和“馬爾可夫鏈”。</p&g

15、t;<p>　　到二十世紀(jì)30年代，蘇聯(lián)的柯爾莫戈洛夫以勒貝格的測(cè)度論為基礎(chǔ)，給出了概率論的公理體系，影響頗大。</p><p><b>　　1.1 序言 </b></p><p>　　其實(shí)，偶然現(xiàn)象在生活中早已大量存在。只是限于當(dāng)時(shí)的科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力的發(fā)展水平，人們沒有足夠多的能力對(duì)偶然現(xiàn)象作深入研究，其規(guī)律對(duì)人們生產(chǎn)生活的意義不大。由于科學(xué)理論的發(fā)

16、展，對(duì)偶然現(xiàn)象研究的需要成為必然趨勢(shì)。</p><p>　　下面我們來看一個(gè)偶然現(xiàn)象。我們都玩過拋擲硬幣的游戲。每拋一次硬幣，正反面的出現(xiàn)都有可能，我們不能斷定究竟出現(xiàn)哪種情況。歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果如文[1]所給下表：</p><p>　　（注：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，記n(A)為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，稱n(A) ／n為事件A出現(xiàn)的頻率）</p><p>　　

17、由上表知，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)足夠多時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5.這時(shí)我們就說出現(xiàn)正面的概率為0.5.。這是用頻率的方法確定的概率。通常，我們就用概率值來表示相應(yīng)事件出現(xiàn)的可能性的大小。</p><p>　　我們可以這樣來理解概率值的意義。它表示在每次試驗(yàn)中，某一事件出現(xiàn)的平均次數(shù)。如對(duì)于拋硬幣試驗(yàn)，概率值0.5表示在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的平均次數(shù)是0.5，即每進(jìn)行兩次試驗(yàn)，平均有一次出現(xiàn)正面。需要一提是，我們要理解

18、“平均”二字的含義，并不是在兩次試驗(yàn)中都有一次出現(xiàn)正面，這在試驗(yàn)中就可以直接得到驗(yàn)證。</p><p>　　以上我們所討論的偶然現(xiàn)象是大量可重復(fù)的。對(duì)于不能大量重復(fù)的偶然現(xiàn)象，我們通常用主觀方法給出其概率，其值規(guī)定在0到1之間。此外，我們還規(guī)定必然現(xiàn)象的概率為1，不可能現(xiàn)象的概率為0，結(jié)合上述對(duì)概率的理解，其規(guī)定具有合理性。這樣，我們把概率的適用范圍推廣到了一般性現(xiàn)象。</p><p>　

19、　在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中，盡管有些現(xiàn)象具有大量可重復(fù)性，但我們一般不盲目地作重復(fù)試驗(yàn)，而是將某些現(xiàn)象歸為某類概率模型，將概率求解公式化。其模型我們往后加以闡述。</p><p><b>　　1.2 概率的概念</b></p><p>　　下面我們給出概率的公理化定義：</p><p>　　設(shè)Ω為一個(gè)樣本空間，ψ為Ω的某些子集組成的一個(gè)事件域。如果對(duì)任一

20、事件Ａ∈ψ，定義在ψ上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)P(A)滿足：</p><p>　　非負(fù)性公理 若Ａ∈ψ，則P(A) ≥0；</p><p>　　正則性公理 P(Ω)=1；</p><p>　　可列可加性公理 若A1,A2,…,An,…互不相容，有</p><p>　　P(Ai)= P(Ai)</p><p>　　則稱P(

21、A)為事件Ａ的概率。</p><p>　　一個(gè)概率模型稱為是古典概型的，若滿足：</p><p>　　設(shè)所涉及的偶然現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，譬如為n個(gè)。</p><p>　　每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等（稱為等可能性）。</p><p>　　若事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，我們可以這樣來考慮它的概率：若n=2,相應(yīng)的兩個(gè)樣本點(diǎn)記為A,B,則A與B必定有一

22、個(gè)發(fā)生，即P(A∪B)=1,但A與B不可能同時(shí)發(fā)生，要么A發(fā)生，要么B發(fā)生，由概率的意義，在一次試驗(yàn)中，A平均出現(xiàn)P(A)次，B平均出現(xiàn)P(B)次，A, B一共平均出現(xiàn)P(A)+ P(B)次，而這正是P(A∪B)表示的意義，于是P(A∪B)= P(A)+ P(B)。由數(shù)學(xué)歸納法，n可以是任意正整數(shù)。于是我們知道每個(gè)樣本點(diǎn)的概率為1／n。再由概率的意義易知問題的答案為k／n。</p><p>　　一個(gè)概率模型稱為是

23、幾何概型的，若滿足：</p><p>　?。ǎ。?如果一個(gè)偶然現(xiàn)象的樣本空間Ω充滿某個(gè)區(qū)域，其度量（長(zhǎng)度、面積或體積等）大小可用表示。</p><p>　?。?）任意一點(diǎn)落在相同的子區(qū)域內(nèi)是等可能的</p><p>　　對(duì)任意在Ω中度量為的事件Ａ，我們可以這樣來考慮它的概率：用盡可能小的正方形對(duì)區(qū)域作分割，并視每一個(gè)小正方形為一個(gè)樣本點(diǎn)。這樣，我們就將幾何概率問題轉(zhuǎn)

24、化為我們已熟悉的古典概型問題。再運(yùn)用分割加細(xì)，逐步逼近的思想，可知所求概率為／。</p><p>　　兩類模型之間的聯(lián)系：事件所含的樣本點(diǎn)都是等可能的，古典概型所含的樣本點(diǎn)必須是有限個(gè)，而幾何概率所含的樣本點(diǎn)可以是無窮多個(gè)，且可以隨一個(gè)或兩個(gè)變量的連續(xù)變化而發(fā)生連續(xù)的變化，便于建系構(gòu)圖。兩類模型之間沒有從屬關(guān)系。</p><p>　　不難驗(yàn)證：無論是用頻率方法確定的概率，還是上述兩類模型的

25、概率表示式，都滿足概率的公理化定義，是切實(shí)有效的。</p><p>　　2 古典概型的例題分析</p><p>　　在本章中，我們先具體闡述前所提及的“點(diǎn)數(shù)問題”，以體會(huì)實(shí)際問題在概率論發(fā)展早期的背景反映，排列組合知識(shí)也在此得到釋疑，有了這些預(yù)備工作，分析解答古典概型的相關(guān)例題就較為容易上手了。</p><p><b>　　2.1古典精典例題</b

26、></p><p>　　2.1.1 點(diǎn)數(shù)問題</p><p>　　1653年的夏天，法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡前往浦埃托鎮(zhèn)度假，旅途中，他遇到了“賭壇老手”梅累，為了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”的問題。問題是這樣的：一次，梅累與其賭友賭擲骰子，每人押了32個(gè)金幣，并事先約定：如果梅累先擲出三個(gè)4點(diǎn)，或其賭友先擲出三個(gè)4點(diǎn)，便算贏家。遺憾的是，這場(chǎng)賭

27、注不算小的賭博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅累擲出兩次6點(diǎn)，其賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅累接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓。君命難違，但就收回各自的賭注又不甘心，他們只好按照已有的成績(jī)分取這64個(gè)金幣。這下可把他難住了。賭友說，雖然只需再碰上一次6點(diǎn)就贏了，但他若再碰上兩次4點(diǎn)，也就贏了。所以他分得的金幣應(yīng)是梅累的一半，即64個(gè)金幣的三分之一。梅累不同意這樣分，他說，即使下次賭友擲出一個(gè)4點(diǎn)，他還可以分得賭；金的二分之一，即32個(gè)；再加上下次他還有

28、一半希望得6點(diǎn)，這樣，又可以分得16個(gè)金幣，所以他至少應(yīng)得64個(gè)金幣的四分之三，誰是誰非，爭(zhēng)論不休，其結(jié)果也就不得而知了。不過梅累對(duì)于此事卻一直耿耿于懷。所以，當(dāng)他碰到大名赫赫的帕斯卡，就迫不及待地向他教了。然而，梅累的貌似簡(jiǎn)單的問題，卻真</p><p>　?。ǎ?(＋＋…＋)</p><p>　　其中涉及排列組合問題，以下將詳述。</p><p>　　2

29、.1.2排列組合知識(shí)</p><p>　　古典概型問題經(jīng)常涉及到我們所學(xué)過的排列和組合的應(yīng)用題。排列和組合的應(yīng)用題又是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，是初等代數(shù)中較為獨(dú)特的內(nèi)容，它研究的對(duì)象以及研究問題的方法與舊知識(shí)聯(lián)系的少，且內(nèi)容比較抽象。因此在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。古典概型的知識(shí)與排列組合的聯(lián)系十分緊密，許多考查的內(nèi)容都是排列組合知識(shí)的進(jìn)一步應(yīng)用。因此，如何應(yīng)用排列組合知識(shí)解決古典概型問題是我們高中數(shù)學(xué)教

30、學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。而古典概型公式中的n、m與排列、組合應(yīng)用題中的排列數(shù)或組合數(shù)有著緊密的聯(lián)系，古典概型只是進(jìn)一步去求得它們之間的比值。因此，我們要學(xué)好這一類型的概率，首先得弄清這一類型的應(yīng)用題是屬于排列還是屬于組合或者兩者兼之的問題。然后再進(jìn)一步加以討論求出n和m的值。我們就以下三個(gè)方面闡述排列、組合在古典概型中的應(yīng)用。</p><p><b>　　一、排列問題的概率</b></p>

31、<p>　　我們?cè)趯W(xué)習(xí)古典概型時(shí)研究的問題幾乎都是建模題。它是考查學(xué)生語言理解的能力，要求學(xué)生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流，而學(xué)生對(duì)此類問題的掌握相對(duì)不好。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中要從理解概念入手。排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部進(jìn)行排列或組合，共有多少種方法的問題。而排列問題是與順序有關(guān)的。因此求其概率時(shí)，如果遇到與順序有關(guān)系的問題，應(yīng)了解m、n與排列

32、數(shù)是怎樣的關(guān)系，然后利用古典概型的公式解答。</p><p>　　例1、本班數(shù)學(xué)興趣小組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)。求下列事件的概率。</p><p>　　(1)8人排成一隊(duì)，其中甲必須站在排頭的概率?</p><p>　　(2)8人排成一隊(duì)，其中甲不能站在排頭與排尾的概率?</p><p>　　(3)8人排成一隊(duì)，其中任何兩名女同學(xué)都不能相鄰

33、的概率?</p><p>　　分析：此題是關(guān)于古典概型中的排列問題。所有基本事件的總數(shù)是8人，全排列，即n=A88；而某事件包含的基本事件總數(shù)也是排列問題，它是三種情形下的各自排法的總數(shù)。</p><p>　　(1)題m= n= P(A)= =</p><p>　　(2)題中的m是在(1)的基礎(chǔ)上加深一步，可分兩種方法來求。第一種解法：8人全排列中扣除甲站在排頭

34、與排尾的情況，即m=-2。第二種解法：甲在中間6個(gè)空位中任選一個(gè)，其余7人全排列。即m=。兩種解法所得甲不能站在排頭與非尾的概率都是P(B)= 。</p><p>　　(3)題中m的求法，應(yīng)利用插空法分兩步來求得。首先是把5個(gè)男生排成—排有種，這時(shí)有6個(gè)間隙，再把3個(gè)女生插入這6個(gè)間隙里有種，即m=·。所以可得任何兩名女同學(xué)都不能相鄰的概率 P(C)== 。</p><p>&

35、lt;b>　　二、組合問題的概率</b></p><p>　　組合問題與排列問題之間的主要區(qū)別在于是否考慮所選元素的順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，而組合是與順序無關(guān)的。我們?cè)诮忸}中要讓學(xué)生明白組合數(shù)的求法，然后考慮古典概型中的n、m是怎樣來求得的。</p><p>　　例2、甲、乙兩人參加普法知識(shí)竟賽答題，共有10道不同的題目，其中選擇題6道

36、，判斷題4道，兩人依次各抽一道，試求：</p><p>　　(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少?</p><p>　　(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?</p><p>　　分析：此題是關(guān)于古典概型中的組合問題。(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果是個(gè)，乙從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果是個(gè)，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的結(jié)果是個(gè)，即m=。又

37、甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有個(gè)，即n=。所以甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是P(A)= =。</p><p>　　(2)此題有兩種解法：</p><p>　　解法一：用直接法，甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題可分為三類情形，甲抽到乙沒抽到，乙抽到甲沒抽到，或甲、乙都抽到，即m=2 +，而n=。所以甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率為P(B)= =。</p><p&

38、gt;　　解法二：用間接法，甲、乙兩人依次都抽到判斷題的所有可能情況為，則m=-，而n=。故甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是P(B)==。</p><p>　　三、排列與組合綜合問題的概率</p><p>　　解決古典概型應(yīng)用題時(shí)，往往許多問題不可能是單純的排列或組合問題，而是排列與組合綜合問題。這樣對(duì)學(xué)生來講難度加大了。我們?cè)诮虒W(xué)中可先讓學(xué)生按處理排列組合綜合應(yīng)用題的一般方法求得

39、n與m的值，即先選元素(組合)，后排元素(排列)，并按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”；然后再通過古典概型的公式解得排列與組合綜合問題的概率。這樣使學(xué)生容易理解，不會(huì)覺得問題很抽象。</p><p>　　例3、一個(gè)合子中有大小相同的4粒紅球，2粒白球。現(xiàn)從中不放回的先后摸球，直到2粒白球都摸出為止。求：(1)摸球2次就完成的概率；(2)摸球4次就完成概率。</p><p>

40、　　分析：(1)此題有兩解：一是不考慮順序，因?yàn)閮纱味家冒浊虿拍艹闪ⅰＫ詍=，n=。另一種考慮有順序，先后兩次都摸得白球，m=，n=。通過公式可得事件的概率P(A)=。</p><p>　　(2)此題要讓學(xué)生理解在什么情況下摸球4次完成呢?往往許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為摸球4次，得到2粒白球。這樣考慮就錯(cuò)了。摸球4次就完成實(shí)際上是前3次摸得1粒白球2粒紅球，不考慮是第幾次摸出白球，而第4次必須摸得白球才可以。所以m=。

41、此題中的n與前一題也不一樣，它是有順序的從6粒球中摸出4粒球。即n=。通過公式可得事件的概率P(B)==。</p><p>　　排列組合在古典概型中的應(yīng)用是比較廣泛的，習(xí)題中涉及到的內(nèi)容很多，題型千變?nèi)f化，解法十分靈活多樣。因此解這一類型的問題時(shí)，應(yīng)正確處理好排列與組合的關(guān)系，并且還要靈活運(yùn)用“分類計(jì)數(shù)原理”和“分步計(jì)數(shù)原理”來求出概率公式中的n與m，這樣就可以正確求得所求事件的概率。</p>&l

42、t;p>　　2.1.3 古典概型的兩個(gè)實(shí)際模型</p><p>　　抽樣模型 一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中M個(gè)是不合格品，N-M個(gè)是合格品，從中隨機(jī)抽取出n個(gè)，記事件Am=“取出的n個(gè)產(chǎn)品中有m個(gè)不合格品”，則</p><p><b>　　P(Am)= </b></p><p>　　m=0,1,2,…,r, r=min(n,M),</

43、p><p>　　注意，在此應(yīng)有m≤n,m≤M,所以m≤min(n,M),否則其概率為0.</p><p>　　其推導(dǎo)過程如下：先計(jì)算樣本空間Ω中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：從N個(gè)產(chǎn)品中任取n個(gè)，因?yàn)椴恢v次序，所以樣本點(diǎn)的總數(shù)為。又因?yàn)槭请S機(jī)抽取的，所以這個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。要使Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中抽m個(gè)，再從N-M個(gè)合格品中抽取n-m個(gè)，根據(jù)乘法原理，Am含有個(gè)樣本點(diǎn)，由古典概型概率表達(dá)式，可得所

44、求概率。</p><p>　　放回抽樣，抽樣有兩種方式：不放回抽樣與放回抽樣。上例討論的是不放回樣。放回抽樣是抽取一個(gè)后放回，然后在抽取下一個(gè)……如此重復(fù)直至抽出n個(gè)為止?，F(xiàn)對(duì)上例在有放e回的情況下，記事件Bm=“取出的n個(gè)產(chǎn)品中有m個(gè)不合格”，則</p><p><b>　　P()=</b></p><p>　　m=0,1,2,...,n

45、 其中p=M/N,即不合格品在整批產(chǎn)品中所占的比例，由于是放回抽樣，此比例是固定不變的。</p><p>　　其推導(dǎo)過程如下：先計(jì)算樣本空間Ω中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：第一次抽取時(shí)，可從N個(gè)中任取一個(gè)，有N種取法。因?yàn)槭欠呕爻槿。缘诙纬槿r(shí)，仍有N種取法。如此下去，每一次都有N種取法，一共抽取了n次，所以共有個(gè)等可能樣本點(diǎn)。要使Bm發(fā)生，必須從N-M個(gè)合格品中有放回地抽取n-m次，從M個(gè)合格品中有放回地抽取m次，這樣

46、就有，再考慮到這m個(gè)不合格品可能在n次中的任何m次中抽取到，總共有種可能，所以Bm含個(gè)樣本點(diǎn)，從而易得所求概率。</p><p>　　2.1.4 古典概型重難點(diǎn)分析</p><p>　　文[4]給出例題如下:</p><p>　　例 1 n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐， 求 其中甲、乙兩人坐在一起( 座位相鄰)的概率。 </p><p>　　

47、解： 我們很自然地會(huì)把這個(gè)問題看作圓周排列的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，但是在這里我們不用這種辦法。 設(shè)甲已先坐好， 考慮乙怎么坐法。 顯然乙總共有( n-1 )個(gè)位置可坐， 這( n -1 )個(gè)位置都是等可能的,而乙坐在甲的邊上有兩種坐法，因此所求概率為。</p><p>　　如果把上述解法作細(xì)致的分析， 那就是我們?nèi)?樣本空間Ω= {，，...，} ，表示乙坐在甲左邊第i個(gè)位置上,它滿足有限與等可能的要求 ，我們要求概率的

48、事件A表示為Ω的子集 { ， } 。顯然，對(duì)例1這樣選取的樣本空間Ω ( 有限并等可能) 是最小的了，在要小的話，事件A就“ 裝”不進(jìn)去， 或者就無法保證等可能性了。 用其它辦法做這道題目選取的樣本空間只會(huì)更大，比上述解法復(fù)雜。值得指 出的是在我們的解法中用不到排列組合。 </p><p>　　例2 :袋中有a只白球， b只紅球。k個(gè)人依次在 袋中取一只球( 不放回) 。 求第i ( i=1 ， 2 ，

49、…， k ) 人取 到白球的概率( k ≤ a+b ) 。 </p><p>　　解： 這是浙江大學(xué)編“ 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”中的一個(gè)例題。 那里提供了用排列組合的解法。 在這里我們用更簡(jiǎn)單地方法， 那就是取樣本空間為第 i 人取到白球的全部等可能的結(jié)果( 形象地說不要從取球人的角度看問題， 而從球的角度看問題， 是哪一個(gè)球在第 人被取到) 。詳細(xì)地說，設(shè)把( a+b )個(gè)球加以編號(hào),前a個(gè)球?yàn)榘浊?，后b 只為

50、紅球。樣本空間Ω ={，，…， } ，表示第i人取到的第j 號(hào)球。 易見每一個(gè)球都可能在被第i 人取到，且被取到的可能性相同。我們要求的是事件A={ , ，…， }的概率， 所以P( A)= 。</p><p>　　看了例 1之后來理解例 2的做法是不困難的，因?yàn)樗伎挤椒ㄍ耆且粯拥?。在?中樣本空間的取法也是最小的( 再小就不能保持等可能性 ) 了。 我們?yōu)槭裁茨苋〉阶钚〉臉颖究臻g使計(jì)算大大簡(jiǎn)化了呢?讀者可以

51、發(fā)現(xiàn)， 其中關(guān)鍵的一點(diǎn)在于我們抓住了刻劃出欲求概率的事件的本質(zhì)特點(diǎn)， 而把無關(guān)的因素都丟掉不予考慮了。例2的結(jié)果是十分重要 的， 值得把它當(dāng)做一個(gè)基本定理看待， 把它牢牢記住， 因?yàn)椴簧賳栴}可歸結(jié)到例 2所考慮的情形。下面再舉一個(gè)這樣的例子。 </p><p>　　例3 ： 袋中有 a只白球，b 只紅球。把球隨機(jī)的一只只摸出來( 不放回) ，直至袋中剩下的球顏色都相同為止。求最后剩下的全是白球的概率。 <

52、;/p><p>　　解： 設(shè)想摸球直到摸完為止， 那么“ 最后全剩下白球” ( 事件A )與“ 最后摸出的是白球” ( 事件 B) 是同一回事。 這可以這樣思考： 如果最后全剩下 白球( 事件A發(fā)生) ， 那么最后摸出的必是白球( 事件B發(fā)生，所以A B)；反過來， 如果最后摸出的是白球 ( 事件 B 發(fā)生) ， 那么最后剩下同一種顏色的球時(shí)必包含這最后一球， 所以剩下的必全是白球( 事件A發(fā)生， 所以B A ) ；

53、 因此兩個(gè)事件相等。 現(xiàn)在由例2 ， 事件 就是第( a+b )次摸出白球， 所以它的概率為 P( A )= 。 </p><p>　　在計(jì)算概率時(shí)必須學(xué)會(huì)充分運(yùn)用概率的性質(zhì)，把計(jì)算復(fù)雜事件的概率化為計(jì)算較簡(jiǎn)單事件的概率。其中關(guān)鍵的是要牢牢掌握求逆事件的概率公式：</p><p>　　P( )=1一P( A) ( 1 ) </p><p>　　(表示 A的

54、對(duì)立事件)和概率的加法公式： </p><p>　　P( A u B)=P( A)+P ( B )一P ( A B) ( 2 ) </p><p>　　事實(shí)上， ( 1 ) 是( 2 ) 的推論，即在( 2 ) 中取B= ，即可得( 1 ) 。公式( 1 )給我們的啟示是在計(jì)算事件A的概率時(shí)應(yīng)先想一想： 計(jì)算對(duì)立事件 的概率是否更方便些?然后再選擇容易的一個(gè)方法來做。這一點(diǎn)通常已被注意

55、到了， 但是否足夠重視， 并在解題時(shí)能自覺應(yīng)用呢?事實(shí)是在教學(xué)過程當(dāng)中有強(qiáng)調(diào)的需要 。 </p><p>　　例4 ： 從5雙不同的鞋子中任取4只， 問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少? </p><p>　　解： 以A記事件“ 4只鞋子中至少有兩只配成一雙” 。 那么于表示事件“ 4只鞋子都不配成” 。 這個(gè)問題的樣本空間： 1 0中選4 ( 當(dāng)然不放回抽樣) ， 即樣本空間

56、共包含 1 0 9 8 7個(gè)基本事件； 對(duì)于 來說： 首先從 1 0只鞋子中任選一只有 l 0種方法， 第二次， 8 只( 剛選的那一只不能配對(duì))鞋子中任選一只有 8 種方法， 依此類推。 共有 10 8 6 4種方法。 </p><p>　　因此P(A)=1-P() =1一 = </p><p>　　如果在計(jì)算概率時(shí)不是有意識(shí)的把逆事件的概式作為一個(gè)有力的工具， 恐怕就難以想

57、到上述4的解法， 給學(xué)生也難以解釋。 </p><p>　　概率的加法公式( 2 ) 是用來計(jì)算兩個(gè)事件中至發(fā)生一個(gè)的概率的。用數(shù)學(xué)歸納法不難把它推廣n個(gè)事件中至少發(fā)生一個(gè)的情形： </p><p>　　P(…) =)—) + )-…+P( …) ( 3 )</p><p>　　例 5 ： 有人給四位朋友準(zhǔn)備了四封信和已寫地的四個(gè)信封， 如果把四封信任意

58、地放入四個(gè)信封， 則求至少有一封信放進(jìn)自己信封的概率。 </p><p>　　解： 有的學(xué)生看到求“ 至少有一個(gè) … ” 的概率， 總以為要用對(duì)立事件公式去求“ 沒有一個(gè) … ”概率。這種觀念是錯(cuò)的， 現(xiàn)在這道題就不能這么，而應(yīng)運(yùn)用加法公式， 以 記事件“ 第 i 封信放進(jìn)自己的信封里”； i =1，2 ，3 ，4 。我們要求的是 P () 。由例 2的結(jié)果可知 ， P ( )=。。。=P (A4 )= ，

59、由同樣的推理方法可知： P( A1A 2 )=P( A 2 A 3 )= P ( A 1A 2 A 3 ) = p ( A 2 A 3 A4 ) =…= ， P( A1 A 2 A 3 A4 ) = ， 故由( 3 ) 式 p ( A 1 u A 2 u A 3uA4) = 4 × 一 6 × + 4 ×- = </p><p>　　這個(gè)例題可以

60、進(jìn)一步推廣到n封信與n個(gè)信封 一般情形， 這就是著名的“ 匹配問題” 。 至少有一 信放進(jìn) 自己的信封里的概率為 </p><p>　　1- + -….+ .</p><p>　　總之， 在古典概型中，對(duì)同一問題從不同的角度考慮會(huì)得到不同的樣本空間和不同的解法，而樣本空間的適當(dāng)選取和對(duì)立事件、加法公式的合理運(yùn)用會(huì) 化古典概率的計(jì)算， 可以避免復(fù)雜的排列組合的計(jì)算而易于理解，同時(shí)可以提高學(xué)生

61、的學(xué)習(xí)興趣和課堂教學(xué)效率。</p><p>　　文[5]給出例題如下: </p><p>　　問題 1 n雙相異的鞋共 2n 只， 隨機(jī)地分成 n 堆 ， 每堆2只， 各堆2只都自成一雙鞋( 事件 A) 的概率是多少? </p><p>　　解法一 把 2 n 只鞋分成 n堆， 每堆 2只的分法總數(shù)為</p><p><b>

62、;　　=, </b></p><p>　　而出現(xiàn)事件 A的分法數(shù)為n !( 每雙看成一個(gè) ， n個(gè)分成n堆) ， 故 P( A) = = </p><p>　　解法二 把這 2 n 只鞋排成 一列 ， 排 法有( 2n ) !種 。然事件 A， 第一個(gè)位置可 以是這 2 n只鞋中任一 只， 有 2 n種取法，第二個(gè)位置只有一種取法配成一雙，第三四位置依次類推 ， 排列總數(shù)為

63、 2n×(2n-2) ×(2n-4) ×…×2,故 P(A) ==。 </p><p>　　問題 2 從 n雙相異的鞋 共2 n只中隨機(jī)地選 2 r只(2r<n ) ， 沒有成對(duì)的鞋子( 事件 A) 的概率是多少? </p><p>　　解 雙相異的鞋共 2 n只， 隨機(jī)地選 2 r只( 2 r < n)分法總數(shù)為 ，即。 而出

64、現(xiàn)事件 A 的分法數(shù)為 m， </p><p>　　m= …／（2r）!</p><p>　　于是 P(A )= .</p><p>　　問題 3 從 5雙不同的鞋子 中任取 4只， 這 4只鞋至少有兩只配成一雙( 事件) 的概率是多少?</p><p>　　： 解法一 p(A)= ==</p><p>　　解法

65、二 事件 A=這 4只鞋子 中“ 至 少有 兩只 配成一 雙”， 那么， =這 4只鞋子中“ 沒有成對(duì)的鞋子”， 由上 面給 出 的 公 式 ， 得 m = ／4!;總分 法 為 ， 故P ( )= =</p><p>　　由性 質(zhì) P ( A)： 1一 P ( )，得 P (A)= 1一 =1—=。 </p><p>　　解法三 若考慮所選 4只鞋的先后次序， 總分法為 n= 1

66、 0×9 ×8×7 ， 再來 考慮 的取法 ， 第一 只任取 ， 有 1 0種 ， 第二只有 8種， 第三 四依此類推 ， 排列數(shù)為 m=1 0 ×8 ×6 ×4 。 故 P( ) ==。 </p><p>　　由性質(zhì) P ( A ) = 1 一 P （ ) ， 得 P ( A ) = 1 一=1一 = </p><p>

67、　　解法四 從 1 0只不同的鞋子中任取 4只， 共有取法 。 再來考慮的取法，先從5 雙鞋中任取4雙 ，再從每雙鞋中各取一只，共有 m =×2×2×2×2。 </p><p>　　由性 質(zhì) P ( A)=1一 P ( ) ，得 P ( A) =1—=1-=</p><p>　　問題 4 一人寫了n 封信 ,又 在n 個(gè)信封上分別寫了收信人的個(gè)人

68、信息( 郵編、地址 、 姓名)， 然后將信裝人信封中,問沒有一封信裝對(duì)( 信封上的個(gè)人信息與信的內(nèi)容吻合 ) ( 事 件 A) 的概率? </p><p>　　解 事件表示“ 裝對(duì)第 i 封信 ： 信封上 的個(gè)人信 息- b信的內(nèi)容吻合” , i =1 ， 2…，n 。由性質(zhì) P( A) =1 一P( ) ， 得 P ( A ) = 1 一 P () 這里事件是相容事件組， 經(jīng)計(jì)算P () = ， P(

69、Ai nA j ) =.. = ，p(∩∩)= ，…，p()= </p><p>　　得p(A)=1-p()=1-p(A1∪A2∪…∪An)= </p><p>　　問題5 從1，2，…n 中無重復(fù)地任選k(n+1≥2k)個(gè)數(shù)，求正好選出k個(gè)不相鄰數(shù)的概率。</p><p>　　解 試驗(yàn)E=“從1，2，…,，n中無重復(fù)地任選k個(gè)數(shù)

70、”，這時(shí)E共包含個(gè)基本事件，即n=。</p><p>　　令事件A=“從1，2，…,，n中無重復(fù)地任選k個(gè)不相鄰的數(shù)”，我們可以將其看作“配對(duì)”問題。比如4的相鄰數(shù)有3和5，即（3，4）（或（4，3））與（4，5）（或（5，4））共有兩對(duì)。事件A不包含配對(duì)數(shù)。下面計(jì)算事件A所包含的基本事件數(shù)。</p><p>　　設(shè)x1,x2,…,xk是選出的k個(gè)不相鄰的數(shù)（由小到大排），構(gòu)造映射yi=x

71、i-(i-1),則可生成另外k個(gè)數(shù)y1,y2,…,yk。比如首先選出的是2，4，7，11這一組，則可映射為2，3，5，8.</p><p>　　對(duì)于兩組不同的x1,x2,…,xk，映射得到的兩組y1,y2,…,yk也不相同。反之，映射得到的兩組數(shù)不同，原來的兩組數(shù)也不同。它們之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。問題就轉(zhuǎn)化為映射后的序列y1,y2,…,yk有多少個(gè)？</p><p>　　由以上的分析可以看

72、出，y1,y2,…,yk可以相鄰，即允許配對(duì)。又由映射的構(gòu)造知道yk最大為n-(k-1)。因此y1,y2,…,yk就是從1，2，…n-(k-1)無順序地任選k個(gè)數(shù)，共有</p><p><b>　　n==，</b></p><p>　　則P(A)= ==。</p><p>　　具體地，當(dāng)n=10時(shí)，即從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中

73、無重復(fù)地任選4個(gè)數(shù)，此時(shí)</p><p><b>　　P(A)= =。</b></p><p>　　若從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中無重復(fù)地任選5個(gè)數(shù)，此時(shí)</p><p><b>　　P(A)= =。</b></p><p>　　事件A包含的基本事件數(shù)為6，這6組不配對(duì)（不相鄰）的數(shù)

74、是：1，3，5，7，9；1，3，6，8，10；1，3，5，7，10；1，4，6，8，10；1，3，5，8，10；2，4，6，8，10。</p><p>　　對(duì)于以上問題，我們可以得出，是排列，是組合，我們都可以靈活運(yùn)用。問題所涉及的概率模型可以互相轉(zhuǎn)化。特別是問題5，將復(fù)雜而不易考慮的問題通過映射，變幻為簡(jiǎn)單而較易考慮的問題，實(shí)為可取。</p><p>　　綜上，可以概括出古典概型解題中所

75、用的樣本空間選取法，公式法，排列組合法，變幻法，其中，在例題中僅體現(xiàn)公式法結(jié)合樣本空間選取法使用，變幻法結(jié)合排列組合法使用。，</p><p>　　2.2 幾何概率問題</p><p>　　2.2.1蒲豐投針 </p><p>　　一位名叫蒲豐的著名數(shù)學(xué)家，做了這樣一個(gè)試驗(yàn)：取一枚較長(zhǎng)的縫衣針，截去兩端，留下中間粗細(xì)均勻的一段，假設(shè)這段針長(zhǎng)為l。再取一張白紙，在上面

76、畫一些距離為2l的平型線。將針拿到一定的高度，讓它自由落到紙上。這時(shí)，針和紙上的平行線只可能產(chǎn)生兩種情況：相交或不相交。把總的拋擲次數(shù)除以相交次數(shù)，他發(fā)現(xiàn)所得的商是圓周率д的一個(gè)近似值。比如投擲了200次，相交次數(shù)為63，則д=200/63=3.17.拋擲次數(shù)越多，得到д的近似值越精確。這就是著名的蒲豐投針問題。</p><p><b>　　這是什么道理呢？</b></p>&

77、lt;p>　　若以x表示針的中點(diǎn)到最近的一條平行線的距離，φ表示針與平行線的交角?？梢钥闯?，0≤x≤l,0≤φ≤π,也就是說，針無論落在什么位置，它的中點(diǎn)總是在以某一平行線為邊，并且邊長(zhǎng)為l及π的長(zhǎng)方形內(nèi)。為使針于這條平行線相交，必須x≤l／2×sinφ,區(qū)域g為針與平行線相交時(shí)，中點(diǎn)落下的范圍（即φ從0變到π）。因針是均勻的，所以針的中點(diǎn)落入平面上任一點(diǎn)的可能性大小是相同的。因此，針與平行線相交的概率（記為p）是：&l

78、t;/p><p>　　P= g的面積／G的面積=l/／lπ=1／π</p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p>　　P= 相交的次數(shù)(記為N) ／ 拋擲的次數(shù)（記為n）</p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　N／n=1／

79、π</b></p><p><b>　　也就是</b></p><p><b>　　π=n／N.</b></p><p>　　這里，針與平行線的關(guān)系是幾何問題，針與平行線相交的可能性是概率問題。蒲豐的投針試驗(yàn)巧妙地把幾何與概率結(jié)合起來了，產(chǎn)生了幾何概率。</p><p>　　現(xiàn)在我們針對(duì)

80、蒲豐投針問題作進(jìn)一步的闡述。</p><p>　　注意區(qū)域A是不規(guī)則的幾何圖形，其邊界曲線我們不能憑直觀把它理解為一段圓弧其面積求解采用的是微積分的思想。而且上例的蒲豐投針問題是比較特殊的，其特殊之處在兩平行線之間的距離恰為針長(zhǎng)的兩倍。下面我們?cè)賮砜紤]一般點(diǎn)的情況。</p><p>　　設(shè)d為兩平行線之間的距離。通常，我們要求l<d.，此時(shí)P=2l/dπ,若不然，則</p>

81、;<p>　　P= [ 2 ( l一 )+d(π 一 2 a r c s i n ( l／ d) ) ] ／πd..</p><p>　　就l<d這種情況，歷史上有一些學(xué)者曾親自做實(shí)驗(yàn)，并算得π的近似值，文[1]所給下表記錄了他們的試驗(yàn)結(jié)果。</p><p>　　這是一個(gè)頗為奇妙的方法，只要設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使一個(gè)事件的概率與某個(gè)未知數(shù)有關(guān)，然后通過重復(fù)試驗(yàn)，以頻率估計(jì)

82、概率，即可求得未知數(shù)的近似解。</p><p>　　蒲豐投針問題還可以推廣到二維三維空間，其投擲物也不僅僅局限于針，有興趣的讀者可以作進(jìn)一步的探究。</p><p>　　2.2.2 幾何概率例題</p><p>　　文[13]給出例題如下:</p><p>　　問題 l 在單位 圓的圓周上隨機(jī)地取三點(diǎn)A、 B、 C， 求AAB C是銳角三

83、角形的概率． </p><p>　　分析 1 在圓周上隨機(jī)地一次取三點(diǎn)， 相當(dāng)于做隨機(jī)試驗(yàn)一次，每次試驗(yàn)的結(jié)果有無限多個(gè)且各種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的，因此這是一個(gè)幾何概率問題． </p><p>　　解法 1 設(shè)ΔABC的三內(nèi)角分別為a ，β，π- a-β ， A={ Δ AB C是銳角三角形) ， 則試驗(yàn)的樣本空間Ω= { (a ，β) 0< a ，β<π，a +β&l

84、t; 丌 ， </p><p>　　A = { ((a ，β) ， l 0< a ，β<π/2 ，π/2 < , a +β) ． </p><p>　　它們對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域如圖 1 ， 于是所求概率為</p><p><b>　　P(A)= </b></p><p>　　P( 1

85、 </p><p>　　解法 1 如圖2 ， AD， B E是圓的兩條直徑， AAB C是銳角三角形的充要條件是點(diǎn) C在劣弧 ED上移動(dòng)( C不能取E， D兩點(diǎn)) ， 以x ， Y分別表 示劣弧AB， B C的弧長(zhǎng)， 令A(yù)={Δ AB C是銳角三 角形 } ， 則試驗(yàn)的樣本空間Ω={ ( x，y ) 0 < X， Y< 2 π ，x+y< 2π} ， A = ( ( x,

86、y )1 0 < X， Y< π, π<x+y} ， 只要把圖 1中的a ，β軸分別換成 X， y軸， 把 A， B， C， E四點(diǎn)處的數(shù)據(jù)依次換為2π，2π ，π, π 即可 得到 n和 A對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域， 由幾何概率的定義 </p><p><b>　　P( A)= </b></p><p>　　分析2 在圓周上隨機(jī)地取三點(diǎn)等價(jià)于隨機(jī)地作圓

87、內(nèi)接的一個(gè)三角形， 樣本空間 n是單位圓 的所有內(nèi)接三角形組成的集合， 欲求概率的事件 A是單位圓的所有內(nèi)接銳角三角形組成的集合． </p><p>　　解法 2 如圖 3所示建立平面直角坐標(biāo)系 ，A，B，D， E為單 位圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)． △AB C是 銳角三角形的充要條件是點(diǎn) C在 1 ／ 4圓周 ED( C 不能取 E， D兩點(diǎn)) 上滑動(dòng) ，樣本空間Ω= { 單位圓 的內(nèi)接三角形) 對(duì)應(yīng)的幾何 區(qū)域是單

88、位圓的圓周， 事件 A={ 單位圓的內(nèi)接銳角三角形 ) 對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域是單位 圓的 1 ／ 4圓周 E D． 由幾何概率的定 義 </p><p>　　1 P(A)=圓周E D的長(zhǎng)／單位圓的周長(zhǎng)= </p><p>　　分析 3 在單位 圓的 圓周上 隨機(jī) 地取三 點(diǎn)A、 B、 C， 相當(dāng)于在圓周上等可能地投三個(gè)點(diǎn)， 暫時(shí)固定A點(diǎn)和B點(diǎn)兩點(diǎn)后， 則點(diǎn) C服從區(qū)間[ 0 ， 2π]

89、 上的均勻分布， 問題轉(zhuǎn)化為求隨機(jī)點(diǎn) C落在 線段[ O ，π/ 2 ] 上的概率． </p><p>　　解法 3 記 A一{ΔAB C是銳角三角形 ) ， 根 據(jù)分析 3 ， 隨機(jī)點(diǎn) c -u[ o ， 2π] ， C的概率密度是，所 以 </p><p>　　P ( A ) = P ( 0 < C <π／ 2 )= </p><p>　　問題

90、 2 某人午覺醒來發(fā)現(xiàn)表停 了， 電臺(tái)每 半小時(shí)報(bào)時(shí)一次， 他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)， 求他 等待的時(shí)間不超過 1 0分鐘的概率． </p><p>　　分析1 此問題等價(jià)于將一個(gè)3 O厘米的木棒折 成兩段， 求其中一段長(zhǎng)度不超過l O 厘米的概率． </p><p>　　解法 1 ( 用幾何概型的定義) 樣本空間Ω= ( X l O ≤ x ≤3 0 ) ， 記 A={ 他等待 的時(shí)

91、間不超過 1 O分鐘 ) ， 則 L(Ω ) =3 0 ， L( A) = l O ， 由幾何概率的定義 </p><p>　　P( A)=L( A) ／ L(Ω)=1／ 3 ． </p><p>　　分析 2 某人打開收音機(jī)的時(shí)間可 以認(rèn)為 F o ， 3 0 ] 分鐘之間的任意時(shí)刻， 他等待的時(shí)間不超 過 1 O分鐘即可認(rèn)為在r - o ， 1 0 ] 分鐘之間． 問題轉(zhuǎn)化 為在

92、線段[ 0 ， 3 0 ] 上等可能地投點(diǎn)， 求點(diǎn)落在[ O ， 1 0 ]上的概率． </p><p>　　解法 2( 用均勻分布 )以 T表示他等待的時(shí)間， 由題意， T ～U[ O ， 3 0 ] ， T的概率密度是</p><p><b>　　則所求之概率為</b></p><p>　　問題 3 ( 對(duì)講機(jī)問題 ) 兩個(gè)對(duì)講機(jī)持

93、有者莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作， 他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為 2 5公里 ， 在下午 3點(diǎn)時(shí)， 莉莉正在基地正東距基地 3 O公里以內(nèi)的某處 向基地行駛 ，霍伊正在基地正北距基地 4 O公里以內(nèi)的某地向基地行駛， 問他們下午 3點(diǎn)時(shí)能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大? </p><p>　　分析 以 x和 分別 代表莉莉和霍伊距某地的距離 ， 于是 O ≤z ≤3 0 ， 0 ≤ y ≤4 0 ， 則他倆所有

94、可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)( x，y ) ，x ，Y都在它們各自的限制范圍內(nèi)， 所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合y即為樣本空間對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域， 此幾何區(qū)域中的每點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件當(dāng)且僅當(dāng)他們之間的距離不超過 2 5公里時(shí)發(fā)生 ( 如圖 4 ) ，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式 的數(shù)對(duì)組成．</p><p>　　解 設(shè) X和 Y分別表示莉莉和霍伊距某基 地的距離，

95、則樣本空間Ω=( x ， Y ) l 0 ≤X ≤3 0 ， O ≤ y≤4 0 ) ， 記事件A={ 他們下午3點(diǎn)通過對(duì)講機(jī)交 談 ) ． 由上面的分析 ， A={ ( x，y ) l O ≤ x，Y ，X2 +Y2 ≤6 2 5 ) ， 力和 A 對(duì)應(yīng) 的幾何 區(qū)域分別是矩形 域 [ O ， 3 0 ] ×[ O ， 4 0 ] 和半徑為 2 5的圓盤的 1 ／ 4 ( 如圖 5 ) ， 由幾何概率的定義

96、， 所求的概率為 </p><p>　　問題 4 從 長(zhǎng)度為 T的線段上任意取三段 ( 總長(zhǎng)不大于 T ) ， 則所得三條線段恰能構(gòu)成三角 形的概率是多少? </p><p>　　分析 在長(zhǎng)度 為 丁的線段上任意取三段滿足無限等可能性 ， 是幾何概率問題 ， 若取得的三條 線段的長(zhǎng)分別記為 X，y，z ， 則這是一個(gè)關(guān)于三個(gè) 變量即關(guān)于空間立體體積的幾何概率問題， 由題 意及構(gòu)成三

97、角形的條件、 空間解析幾何知識(shí)可做 如下解答． </p><p>　　解 設(shè)取得的三條線段的長(zhǎng)分別為 x，y ， z ， 則 由題意知 </p><p>　　X+Y+z≤ T， x > 0 ， Y> 0， z> 0， ( 1 ) </p><p>　　要使三線段能構(gòu)成三角形 ， X， Y ，z滿足的條件為 </p><

98、;p>　　X+Y> z ， z+ z> Y， Y+ z> x． ( 2 ) </p><p>　　由條件( 1 ) 、 ( 2 ) 做出圖形 ， 如圖 6 ， 記 A={ 所得三 條線段構(gòu)成三角形) ， 則 一 { ( x， Y， z)l X+Y+z≤ T， X> 0 ， Y> 0， > 0 ),A={(x,y,z) l x+y>z, x+z>y

99、, y+z>x},于是 </p><p>　　3 古典概型應(yīng)用舉例</p><p>　　古典概型源于人們的活動(dòng)當(dāng)中，人們對(duì)這些問題進(jìn)行研究。下次人們?cè)倥錾项愃频膯栴}，就能夠根據(jù)研究所得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，舉一反三。概率反應(yīng)了事物的某些屬性，為人們深入了解事物，發(fā)展生產(chǎn)創(chuàng)造了條件。因此，古典概型有著廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　3.1 古典概型在生活中的應(yīng)用<

100、/p><p>　　古典概型在生活中的應(yīng)用比比皆是，以上所講的例題當(dāng)中，有很多所述的就是生活中的事情，如選鞋，摸球，寫信。當(dāng)初引發(fā)古典概型研究的事件很多就是生活中的事情，如賭博就是人們?cè)谏钪袝?huì)碰到的事情。對(duì)于生活中的這些事情，對(duì)它們將會(huì)導(dǎo)致的幾種結(jié)果的可能性作出一個(gè)合理性的推斷，初看似乎意義不大，但一旦深入高層領(lǐng)域，許多復(fù)雜的涉及概率現(xiàn)象都可以化為生活中的簡(jiǎn)單概率模型來解決，從而大化小，小化沒了。我們要古典方法計(jì)算生

101、活中相關(guān)瑣事的概率，并不是為了完成計(jì)算任務(wù)而計(jì)算。</p><p>　　筆者認(rèn)為前述的古典概型雖在解法上具有深究的意義，但有很多所涉及的生活實(shí)例不夠鮮明而富有趣味性，所以在此有補(bǔ)充幾道文[1]所給有代表性的例題的必要。</p><p>　　例一：一種福利彩票稱為幸福35選7，即從01，02，。。。，35中不重復(fù)地開出7個(gè)基本號(hào)碼和一個(gè)特殊號(hào)碼。中各等獎(jiǎng)的規(guī)則如下：</p>&

102、lt;p>　　記Pi為中第i等獎(jiǎng)的概率（i=1,2,…,7）,試求Pi.</p><p>　　因?yàn)椴恢貜?fù)地選號(hào)碼是一種不放回抽樣，所以樣本Ω含有個(gè)樣本點(diǎn)，要中獎(jiǎng)應(yīng)把抽取看成是在三種模型種抽?。?lt;/p><p>　　第一類號(hào)碼：7個(gè)基本號(hào)碼：</p><p>　　第二類號(hào)碼：1個(gè)特殊號(hào)碼：</p><p>　　第三類號(hào)碼：27個(gè)無用號(hào)碼：

103、</p><p>　　需要注意的是抽樣模型是在兩類元素（合格品與不合格品）中抽取，如今在三類模型中抽取，則不難得中各等獎(jiǎng)的概率。</p><p>　　例二：n個(gè)人的生日全不相同的概率Pn是多少？</p><p>　　把n個(gè)人看成是n個(gè)球，將一年365天看成是N=365個(gè)盒子，則“n個(gè)人的生日全不相同”就相當(dāng)于“恰好有n（n≤N）個(gè)盒子各有一球”，所以n個(gè)人的生日不全

104、相同的概率為</p><p><b>　　P=</b></p><p>　　而該式計(jì)算起來十分繁瑣，我們可以采用近似計(jì)算的處理方法，我覺得有必要作一點(diǎn)提示。由于計(jì)算上的繁瑣，我們可以略去高階無窮小量，或?qū)⒛骋槐磉_(dá)式用在某一范圍內(nèi)相近的另一表達(dá)式來替代，從而達(dá)到化簡(jiǎn)表達(dá)式的形勢(shì)，簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。由于近似性，所得的概率值還是具有很好的參考價(jià)值。</p>&l

105、t;p>　　此外，我們?cè)谟霉诺浞椒ㄓ?jì)算生活中的某些問題，譬如生日問題，當(dāng)n=60時(shí)，我們所求事件發(fā)生的概率超過0.99，其對(duì)立事件發(fā)生的概率是非常小的。在摸彩模型中，經(jīng)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)中頭獎(jiǎng)的概率是異常之小的。對(duì)于這種發(fā)生概率很小的事情，不管怎么樣，它都是會(huì)發(fā)生的。正是因?yàn)榭紤]到這一點(diǎn)，對(duì)于積極的方面，我們抱有一絲的希望，會(huì)努力去爭(zhēng)?。粚?duì)于消極的一面，不能由于它是小概率事件而麻痹大意，而應(yīng)設(shè)法避免。</p><p

106、>　　3.2 古典概型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用</p><p>　　人們通常有著這樣的一種觀念：希望自己得利的多，虧損的少；投入的時(shí)效少，獲取的收益大。所以人們?cè)诓扇⌒袆?dòng)之前，都要經(jīng)過精心籌劃。面對(duì)著多種方案，人們總希望作出最佳的選擇?，F(xiàn)實(shí)當(dāng)中，有很多經(jīng)濟(jì)問題，其樣本點(diǎn)是離散的，各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率可采用古典方法來解決·從而我們可求出它的期望值。期望值是對(duì)某一方案決策多次執(zhí)行下來，所產(chǎn)生的綜合作用的評(píng)估。這一

107、方案決策執(zhí)行的越多，就越能反映出這一期望值。對(duì)于期望值的大小，打個(gè)比方，對(duì)于幾種決策所能導(dǎo)致的收益的期望值，我們通常將對(duì)應(yīng)著期望值大的決策作為最終的選擇。</p><p>　　況且，有些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，本身就可以簡(jiǎn)略地認(rèn)為是古典概型的，可以用古典方法加以處理，從而我們能對(duì)較近期的未來的景氣作出預(yù)測(cè)，從而能做出適當(dāng)防范，延緩不景氣現(xiàn)象的</p><p><b>　　發(fā)展。</b&g

108、t;</p><p>　　現(xiàn)實(shí)當(dāng)中，有很多經(jīng)濟(jì)問題，其樣本點(diǎn)是離散的，各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率可采用古典方法來解決·從而我們可求出它的期望值。比如，我們?cè)诠诺涓判偷暮罄m(xù)學(xué)習(xí)過程中，將會(huì)碰到所謂的二項(xiàng)分布，它的概率表達(dá)式在形式上與放回抽樣模型相同。對(duì)于某個(gè)經(jīng)濟(jì)問題，若它所包含的樣本點(diǎn)服從二項(xiàng)分布，那么古典概型的應(yīng)用就已經(jīng)蘊(yùn)育其中。</p><p>　　由于前述例題較少涉及經(jīng)濟(jì)問題，我們有

109、舉一例的需要。</p><p>　　某人有一筆資金，可投入三個(gè)項(xiàng)目：房產(chǎn)、地產(chǎn)、商業(yè)，其收益和市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)，若把未來市場(chǎng)劃分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生概率分別為=0.2，=0.7，=0.1，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研的情況可知不同等級(jí)狀態(tài)下各種投資地年收益(萬元)，見表</p><p>　　請(qǐng)問該投資者如何投資是好。</p><p>　　我們先考察數(shù)學(xué)期望，經(jīng)計(jì)算得E(X)=4