對函數極限概念的認識與教學方法研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　對函數極限概念的認識與教學方法研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數學與應用

2、數學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：函數極限是高等數學中一個最重要的概念之一，也是一個

3、教學的難點.對于極限概念的教學方法已有許多專家學者進行了探討.本文從已有發(fā)表的教學經驗和方法的基礎上，對函數極限概念的認識與教學方法進一步研究.概括總結了一些函數極限概念的由來，各種教學法方法的比較，由數列的極限引出函數極限的方法來進行教學.利用函數極限的概念來求解一些實際問題以強化對函數極限的認識，從而使豐富了對函數極限概念的認識.針對不同的函數極限，討論了不同的教學方法供大家參考，希望通過本文對函數極限概念的認識和教學方法的研究能對

4、加深大家對函數極限概念和教學方法的理解.</p><p>　　關鍵詞：函數極限；教學方法；連續(xù)函數；無窮大；無窮小</p><p>　　Function Limit And Teaching Method Research</p><p>　　Abstract：Function limit is one of the most important concepts

5、in higher mathematics， also is a teaching difficulty. Many experts and scholars have discussed the teaching method of limit concept. This paper basis from existing teaching experience and methods of the concept of functi

6、on limit to further research the teaching methods. Summarized some origins of the function limit, and compared various teaching concept, the sequence of limits lead to the function of limit to carry on the teaching. U&l

7、t;/p><p>　　Keywords： Function limit, a teaching method；Continuous function, Infinite; An infinitesimal</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 緒論………………………………………………………………………………………

8、……1</p><p>　　2 數列極限概念與教學……………………………………………………………………………2</p><p>　　2.1數列極限的概念與分析定義………………………………………………………………2</p><p>　　2.2數列極限的教學……………………………………………………………………………4</p><p>　　3 函

9、數極限概念的與教學………………………………………………………………………5</p><p>　　3.1函數極限的概念與重要性質定理…………………………………………………………5</p><p>　　3.1.1自變量趨于有限值時函數的極限…………………………………………………7 3.1.2自變量趨于無窮時的極限………………………………………………… ………7<

10、/p><p>　　3.1.3函數連續(xù)性的概念………………………………………………………… ………7</p><p>　　3.1.4 間斷點………………………………………………………………………………8</p><p>　　3.2函數極限的教學……………………………………………………………………………11</p><p>　　3.2.1 如何理解定

11、義…………………………………………………………………11</p><p>　　3.2.2 怎樣運用極限定義證明極限…………………………………………………14</p><p>　　4總結……………………………………………………………………………………………15</p><p>　　參考文獻…………………………………………………………………………………………16<

12、;/p><p>　　致 謝……………………………………………………………………………………………17</p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p>　　在我們日常生活中還是學習中，我們會遇到很多類似無窮的問題，這時就需要我們用極限的思想來解決它.他不僅僅涉及我們的生活學習，而且涉及到了很多科學方面的研究，比如科學家們在制造反導系

13、統(tǒng)的時候需要把導彈的路線細分成無數的線段之和，這時必須用到微分極限的思想.可見極限是一個能解決實際問題的理論研究，我們也就有了研究極限的必要性，但是我們研究的極限沒有涉及比較深奧的方面，只是初步的研究函數極限的基本概念，性質和極限存在的條件，由數列的極限引出函數極限的方法來進行教學.我們本科所學的函數極限主要研究數列極限，函數極限，左右極限，無窮小，無窮大，無窮大無窮小的比較和各種求極限的各種方法，比如：1：零比零的形式，2：無窮比無窮

14、的形式3：無窮減去無窮的形式4：零乘以無窮的形式5：零的零次方形式6：類未定式，其中零比零的形式的求解法可通過分解因式或有理化得方法進行求解，消去零因子再通過運算法則或連續(xù)函數的求解法求解或通過利用等價無窮小的運算法則.無窮比無窮的形式可通過洛畢達法則或通過變數替換化為零比零型.無窮減去無窮的形式可以通過通分，有理化，變量替換來求解.零乘以無窮的形式可以用法則或抓大頭的方法來求解</p><p>　　近年來，由于

15、函數極限廣泛的應用背景，同時隨著科學技術的日益發(fā)展，函數極限的模型也越來越豐富，國內外各個大學和科學研究所的學者專家對函數極限的研究都取得了喜人的成果，國內外也有多篇介紹函數的極限的學術論文，并且總結出了一套相對完整的理論。文獻[1]和 [2]對函數概念和求法的進行了探討；文 [3]，[4] ，[5] ，[6]都談到了函數極限的教學方法。文獻[7]， [8]， [9]， [10]對一些不定式函數極限概括和總結。由于函數極限的種類有很多，

16、求法各不相同，我們遇到函數極限的問題要先判定是哪種類型的極限再去用相對應的方法去求解不能盲目的去運用其它方法求解.函數極限認識和運用遠不只這些，比如還有多元函數的極限等這里就不一一闡述了，可以說函數極限研究到現今其內容已相當豐富，它的理論系統(tǒng)也已比較完整，但我們還是應該看到在這塊領域當中還有很多不明確的問題需要進一步總結，本學位論文希望利用大學本科所學數學分析知識來對上述問題做一些簡單的總結和探討． </p><p&

17、gt;　　2 函數的極限的概念與教學 </p><p>　　2.1 數列極限的概念與分析定義</p><p>　　極限概念早在古代就已萌生，例如在公元前3世紀，我國戰(zhàn)國時期的著名思想家莊子在一書中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的論斷，就是數列極限的思想的體現.又如，在公元3世紀，我國魏晉時期的著名數學家劉徽在九章算術中注釋中創(chuàng)造了“割圓術”的方法來計算圓周率，他從圓的內接正

18、6邊形面積算起，依次將邊數加倍，算出了圓的內接12邊形的面積，內接正24邊形的面積，內接正48邊形的面積，內接正96邊形的面積……，來逐步逼近圓的面積A，劉徽認為如此增加圓的內接正多邊形的邊數，“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失，”這里，劉徽給出了逼近圓的面積的極限過程，即把極限的概念應用于近似計算，從而算出了圓周率的近似值為3.1416，這是數學史上運用極限的思想處理數學問題的經典之作.</p>

19、<p>　　定義2.1： 按一定順序排列的無窮多個數稱為數列，簡記為{}.數列中的每一個數稱為數列的項，數列中的數可以不同或部分相同，甚至完全相同.第n項稱為數列的通項或一般項，{}中的n稱為數列的下標.給定了一個數列的通項，這個數列就給定了.</p><p>　　例1： 數列{}={}，即1，</p><p>　　例2： 數列{}={}，即1，-1,1，…, ,…</

20、p><p>　　例3：數列{}={}，即0</p><p>　　例4： 數列{}={2n-1}，即1,3,5，…2n-1，…</p><p>　　對于數列{}，若有則稱數列{}是單調減少的.單調遞增或遞減的數列統(tǒng)稱為單調數列.例2中的數列不是單調數列.</p><p>　　定義2.2： 對于數列{}，若存在正數M，使得對于一切n都有，則稱數列{}

21、是有界的.有界數列{}的點列全部落在某一個區(qū)間內，無界數列{}的點列，無論區(qū)間多長，總有落在該區(qū)間外的點.例1，例2，例3中的數列是有界的，例4中的數列是無界的.我們觀察上述4個數列的變化趨勢，可以把它們分為2類：第一類，當n無限增大時，通項無限趨近于某個常數.例如，在例1中，隨著n的無限增大，通項=無限趨近于0，在例3中，隨著n的無限增大，通項=無限趨近于1.第2類，當n無限增大時，通項不趨近于任何常數，例如在例2中，隨著n的無限增大

22、.通項=總是在1和-1之間跳動.在例4中，隨著n的無限增大，通項=2n-1無限增大.</p><p>　　所謂的數列的極限問題，就是研究當n無限增大時，數列{}的通項是否無限趨近于某一個常數a，若無限趨近于某一個常數a，則稱數列{}以a為極限；若不無限趨近于任何常數，則稱數列{}沒有極限.</p><p>　　但這僅僅是對數列極限概念不精確的描述，例如，“n無限增大”和“無限趨近于a”的精

23、確含義是什么，就沒有用數學語言表達清楚.</p><p>　　在數學上，可以用“n大于任何給定的正整數N”來刻畫“n無限增大”；用是任何給定的小整數）來刻畫“無限趨近于a”.這樣，我們就可以用下述定義來精確刻畫數列的極限.</p><p>　　定義2.3： 設有數列{}和常數a，如果對于任意給定的正數（不論它多少?。?，總存在正整數N，使得當n>N時,有,則稱數列{}以a為極限,或稱{

24、}收斂于a,記作=a或a(n).如果這樣的常數不存在,則稱{}沒有極限,可表示為不存在,或稱數列{}是發(fā)散的.例如,例1,例3中的數列是收斂的,例2,例4中的數列是發(fā)散的.數列{}收斂于a的幾何意義,當我們把數列{}看成數軸上的點列時,數列{}收斂于a,意味著對于無論多么小的正數,對點a的領域U(a, )(即開區(qū)間(a-,a+)),總存在正整數N,使得點列的第N個點以后的所有點,…都落在U(a, )內.從=a及其意義可以看出, 是任意給

25、定的,正整數N是隨著的給定而選定的.</p><p>　　2.2 數列極限的教學</p><p>　　概念是思維的細胞，只有很好的掌握概念，才能進一步的學好與之相應的理論.</p><p>　　學生學習極限時總覺得很有困難，其原因在于它和中學數學的思想方法有了很大區(qū)別，中學數學是常量的數學，運算基本上是常量的運算，而且這些運算可以用加減來概括；而高等數學是關于變量

26、的科學，需要在變化中把握問題得本質.極限是人類思維對具體問題的，由量變帶質變，逐級抽象的結果，處理問題的發(fā)生了很大的變化.高等數學中的概念方法都是全新的，初學高等數學的學生不能用已知的概念方法同化所學知識，難以把新知識納入自己的認知結構，必須重新建立.因此，搞好極限的教學顯得格外重要.</p><p>　　首先我們要闡明概念的來龍去脈，激發(fā)學生的學習興趣.極限是關于變量變化趨勢的科學，在現實生活中我們都在不自覺的

27、運用著，幾乎所有的自然現象，社會現象，都存在著變化趨勢的問題.如對股票變化的預測，天氣的預測等，這樣講可使學生對極限要解決的問題有一個宏觀的了解.然后由特殊到一般，建立概念，以數列為例，通過觀察發(fā)現：通項=隨著n的無限增大將和0無限接近.進一步，用數學語言說明：當n無限增大時=和0的距離要多小有多小.進一步，當n無限增大時，要有多小有多小.上述兩步，用距離來說明趨勢，是思維的第一次飛躍.接下來，把要多小有多小數量化.如要求<0.1

28、可取n>10即可，又要求<0.01可取n>100即可…上述的0.1和0.01是對和0的接近程度要多小的具體顯示，而相對的n=10和n=100是說要多小這一事實隨n無限增大的可以實現性，都是定量說明.</p><p>　　然而具體不能代替一般，為此出現了任意小的正數要求<可取n>即可.的存在，說明任意小的的可以實現性，靜止中蘊含著運動.通過任意小的正數，以及的存在性，揭示了和0無限接近

29、時的關系，而且這一關系是數列{}只能和0接近，把0換成其它數不行.仔細分析上述關系，把上述特例一般化，便得到合乎邏輯的極限概念.</p><p>　　定義2.4： 設有數列{}，a是常數，若對任意>0，總存在自然數N，對任意的自然數n>N，有則稱數列的極限是a（或a是數列的極限）.</p><p>　　接著我們要認真分析概念的內涵，進一步揭露實質，極限的定義實際上是兩個過程的相

30、互說明，一個是因變量的過程，一個是自變量的過程.上述定義用的任意小性描述和的接近程度.N隨的變化而變化，極限的定義正好是用數學語言，對和關系的本質揭露.將因變量的要求，轉化為自變量的要求，先后N的次序.對N存在性的理解，可聯(lián)系現實生活中的一些實例，進一步指出其必要性和在邏輯論證中的地位，有了概念，接下來要研究其性質，包括由定義直接得到的性質及四則運算性質，其目的在于運用.在研究由定義直接得到的性質時，可進一步揭示極限的特征，使學生加深對

31、概念的理解，如N不存在，并不唯一，的替代形式及n>N反映極限的唯一性等等，這樣學生在運用時就會變得更加靈活.研究四則運算是數學的任務，此時要講好極限符號和四則運算符號的換序問題，主要是換序的條件.這也是教學的重要內容.</p><p>　　上述教學環(huán)節(jié)可以說在高等數學教學中是常見的，除了把握好以外，還可以隨時向學生說明，這對引導學生自學，培養(yǎng)科學的思維方法，以及學生對高等數學理論的建構，會起到事半功倍的作用

32、.</p><p>　　3 函數極限概念的與教學</p><p>　　3.1 函數極限的概念與分析定義</p><p>　　因為數列可看作自變量為n的函數=,n為正整數，所以數列的極限為a，就是當自變量n取正整數時且無限增大（即n）時，對應的函數值無限接近于確定的數a，把極限概念中的函數為而自變量的變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個常數那么這個確定的數就

33、叫做自變量在這一變化過程中函數的極限.這個極限時與自變量的變化過程不同，函數極限就表現為不同的形式，數列極限看作函數當n時的極限，這里的自己變量的變化過程是n.下面講述自變量的變化過程為其它情形時函數的極限，主要研究兩種情形：</p><p>　　自變量x任意接近于某個有限值或說x趨于有限值時，對應的函數值的變化情形.</p><p>　　自變量x的絕對值無限增大即趨于無窮大時，對應的函數

34、值的變化情形.</p><p>　　3.1.1 自變量趨于有限值時函數的極限</p><p>　　現在考慮自變量x的變化過程為的過程中，對應的函數值無限接近于一個確定的數A，那么就是說A是函數當時的極限，當然這里我們首先假定點的某個去心領域內是有定義的.</p><p>　　定義3.1 設函數在點的某個去心領域內有定義，如果存在常數A，對于任意的正數（不論它多少小

35、），總存在正整數，使得當x滿足不等式0<<時，對應的函數值都滿足不等式</p><p><b>　　<</b></p><p>　　那么常數A就叫做函數當時的極限，記作=A</p><p>　　如果這樣的常數A不存在那么稱時，沒有極限，習慣上表達不存在，定義3.2 =A0時，存在>0當0<<時，有<

36、</p><p>　　對極限的定義的理解注意以下幾點：</p><p>　　定義中的<，表示x與的距離小于，而0<<表示x，因此0<<，表示有沒有極限與在點是否有定義并無關系.</p><p>　　定義中的刻畫與常數A的接近程度，刻畫x與的接近程度，是任意給的，一般是是隨著的變化而確定的.</p><p>　　因

37、為初等函數在其定義域內都是連續(xù)的，所以求函數的在處的極限只要求函數的值）即可.</p><p>　　下面是有關函數極限的一些概念：</p><p>　　定義3.3 左極限 ）===A對于任意的正數（不論它多少?。?，總存在正整數，使得當x滿足不等式0< x -<時，對應的函數值都滿足不等式</p><p><b>　　<.</b>

38、;</p><p>　　定義3.4 右極限 ）===A對于任意的正數（不論它多少小）總存在正整數，使得當x滿足不等式0< -x<時，對應的函數值都滿足不等式<.</p><p>　　3.1.2 自變量趨于無窮時的極限</p><p>　　無窮?。阂?為極限的量稱為無窮小 </p><p>　　=A0時，存在一個X>0，

39、當時，恒有<.</p><p>　　=A0時，存在一個>0當0<<時，有<.4：無窮大（實際上是極限不存在的一中形式）</p><p>　　在自變量的某一變化過程中，若函數的絕對值無窮大，則稱函數為無窮大量.</p><p>　　=0時，存在一個X>0，當時，恒有.</p><p>　　=0時，存在一>

40、;0，當0<<時，恒有.</p><p>　　注：無界變量與無窮大的區(qū)別：無窮大量一定是無界變量，但是無界變量不一定是無窮大量，例如y==xsinx是無界變量，但不是無窮大量，因為取x==2n+時，=2n+</p><p>　　，當n充分大時，可以大于一預先給定的正數M，取x==2n時，=0.</p><p>　　無窮小的比較：設=0，=0.</p

41、><p>　　若lim=0，則稱是比高階的無窮小，記=0（）.</p><p>　　若lim=，則稱是比高階的無窮小.</p><p>　　若lim=c，則稱是比同階的無窮小.</p><p>　　若lim=1，則稱是比等階的無窮小.</p><p>　　3.1.3 函數連續(xù)性的概念 </p><p&g

42、t;　　定義3.5 設函數在的領域內有定義，給定x在處以增量x，相信的得到函數增量y=-.若極限，則稱函數在x=處連續(xù).</p><p>　　定義3.6 設函數滿足條件：</p><p>　?。?）在的領域內有定義；</p><p><b>　　（2）存在；</b></p><p><b>　?。?）=<

43、/b></p><p><b>　　則稱在處連續(xù).</b></p><p>　　注：一般來講，證明的命題用函數極限的第一個定義方便；判斷函數在某點是否連續(xù)，尤其是判斷分段函數在分界點處是否連續(xù)用定義2比較方便.</p><p>　　定義3.7 若函數在（a，b）內任一點均連續(xù).則稱在（a，b）內連續(xù).</p><p&g

44、t;　　定義3.8 若函數在（a，b）連續(xù)，在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，則稱在上連續(xù).</p><p>　　3.1.4 間斷點 </p><p>　　定義3.9 若函數在處出現如下3種情形之一：</p><p><b>　?。?）在處無定義；</b></p><p><b>　　（2）不存在；<

45、/b></p><p>　?。?）則稱為的間斷點.</p><p>　　下面是一些重要的定理與公式</p><p>　　定理3.1 =A=A.</p><p>　　定理3.2 =A=A，其中=0.</p><p>　　定理3.3 （保號性定理）=A，A0則存在一個0，當x，x 時，0.</p>&l

46、t;p>　　定理3.4 若=A，0，則A0,</p><p>　　定理3.5 單調有界數列必有極限.</p><p>　　定理3.6（夾逼定理）設在的領域內，恒有，==A，則. =A.</p><p>　　定理3.7 無窮小的運算性質</p><p>　　有限個無窮小的代數和仍為無窮??；、</p><p>　　

47、任意個無窮小的乘積仍為無窮小；</p><p>　　無窮小乘以有界量仍為無窮??；</p><p>　　定理3.8 （無窮大與無窮小之間的關系定理）</p><p>　　在同一變化趨勢下無窮大的倒數為無窮小；非0的無窮小量之倒數為無窮大.</p><p>　　定理3.9 極限的運算法則 設=A，=B，</p><p&

48、gt;　　則（1）lim=lim=A+B</p><p>　?。?）limf（x）g（x）=limf（x）limg（x）=AB、</p><p><b>　?。?）lim==</b></p><p>　　定理3.10 洛比達法則</p><p>　　法則1（型）設函數f（x），g（x）滿足條件</p>

49、<p><b>　?。?）=0，=0；</b></p><p>　?。?）f（x），g（x）在的領域內可導，（在處除外）且；</p><p><b>　?。?）= </b></p><p>　　法則（型）設函數f（x），g（x）滿足條件</p><p><b>　?。?）=0，=

50、0；</b></p><p>　　(2)存在一個X0，當，f（x），g（x）可導，且；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　　則=</b></p><p>　　法則2 （）設函數f（x），g（x）滿足條件</p><p>

51、<b>　　（1），；</b></p><p>　?。?）f（x），g（x）在的領域內可導，（在處除外）且；</p><p><b>　?。?）存在；</b></p><p><b>　　則= .</b></p><p>　　法則 （）設函數f（x），g（x）滿足條件</

52、p><p><b>　?。?）= ，= ；</b></p><p>　　(2)存在一個X0，當，f（x），g（x）可導，且；</p><p><b>　　（3）存在；</b></p><p><b>　　則=</b></p><p>　　利用洛畢達法則應該注

53、意的事項：</p><p>　?。?）只有或得未定式才可能用法則，只要是或，則可一直用下去；</p><p>　?。?）每用完一次法則都要將式子整理化簡；</p><p>　?。?）為簡化運算經常將法則與等價無窮小結合使用;</p><p>　　(4) 不存在，不一定不存在；</p><p>　　（5）當x時，極限式中

54、含有sinx，cosx，不能用法則；當x時，極限式中含有sin，cos；</p><p>　　定理3.11 初等函數在其定義域內連續(xù)；</p><p>　　重要公式（1）： =1，該極限的特點：型未定式</p><p><b>　　注：=0</b></p><p><b>　　重要公式（2）： </

55、b></p><p>　　注：關于冪指函數有以下結論:</p><p>　　設limu（x）=a>0,limv(x)=b,且limu(x)v(x)存在,則= .</p><p>　　設lim u（x）=0, limv(x)= ,且limu(x)v(x)存在,則lim=</p><p>　　設limu(x)=1,limv(x)= ,

56、且lim存在，則=</p><p>　　重要公式（3）：函數f（x）在x=處連續(xù)</p><p>　　重要公式（4）：當x+時，以下各函數趨于+的速度</p><p>　　知道了函數趨于無窮的速度后，即刻可以求出一些極限，例如：</p><p><b>　　=0，=</b></p><p>　　重

57、要公式（6）：幾個常用極限：</p><p><b>　　，特例</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　3.2 函數極限

58、的教學</p><p>　　在多年來的教學實踐中,我較深地體會到:在數學教材的諸多定義,定理，法則,公式中,關于極限的定義和利用定義證明極限是學生感到較為抽象難懂的概念,特別是對于初學者,往往難以接受.因此,積累多年的教學體驗,談談見解.在我們現有教材中,關于極限定義是描述性定義,它直觀地反映了極限的概念,比較粗糙.對于初學極限概念的學生,不大適應,因此,我在此定義的基礎上,再把極限定義補充成“—”的精確定義.但

59、極限定義的“—”的思想方法學生也不好接受,對于用定義證明極限時為什么落腳找或N ,如何找到和N 也感到相當困難.針對這個情況,結合自己多年來對這一問題教學的一些做法如下:</p><p>　　3.2.1 如何理解定義</p><p>　　極限作為工具，主要是用來研究刻劃某一個過程中的變量的變化，我參考了各種教科書，在一般的教科書中所討論的極限，有那么兩種基本形式：</p>&

60、lt;p><b>　?、?</b></p><p><b>　　② </b></p><p>　　比較一下可以看到，這些定義的實質都是相同的，其中最基本的有，現在以這個定義為例子.</p><p>　　對于函數的極限，其定義是：如果對于每一個預先給定的任意小的正數，總存在一個正數，使得對于適合不等式的一切X

61、，所對應的函數f（x）都滿足不等式，那么常數A就叫做函數Y=f（x）當時的極限.上述定義，是精確定義，要掌握這個定義，應抓住以下幾點：1：要明確，的意義和作用，設變量，反映在數軸上，點x與1的距離越來越小，可以小于0.1,0.01,0.001····用不等式表示就是，····那么0.1,0.01,0.001····這些

62、很小的正數就刻劃了X與1的接近程度，由于時，這些很小的正數可以任意小，我們就用或表示，寫做，滿足不等式的點x就組成了1的的領域(或1 的鄰域) ,鄰域內的這些點,全在區(qū)間(1 -,1 +) 內.可以看出, 取得愈小,鄰域愈小,則x 愈接近1 ,因此,定義中, 被用來刻劃自變量x→時,x 任意趨近的相近程度.被用來刻劃函數f (x) →A 時, f (x) 任意趨近A 的相近程度.2：要抓住定義的實質———兩個不等式以上精確定義的實質,就

63、是其中的兩個不等式: 和,如何理解這兩個不等式呢? 在教材中函數的極限是這樣用描述法定義的:“設函數f ( x) 在點的某個鄰域內有定</p><p><b>　　例：用定義證明</b></p><p>　　分析：用定義，就是要證明，對于預先給定的任意>0總存在>0使得時，不等式總成立.由于=1，A=4，是預先給定的任意小的正數，關鍵在于找，找出的事為了使

64、得成立時保證成立.于是就假設成立來倒推出，倒退要求下一步成立能保證上一步成立.要使，即，可取=.</p><p>　　證明：對于任意小的>0，取=，則當時，，即成立，證畢.</p><p>　　可見，證明的全過程，緊緊圍繞2個不等式，也即是抓住了極限的實質，運用定義解決問題.</p><p>　　3：要透視理解定義中的每一句話</p><p

65、>　　(1) 當 時,函數f (x) (雖然在除外) 是有意義的,因為f (x) 有意義,不等式才有意義,至于 點,從,可x ≠ ,即定義沒有要求,在x ≠也一定成立.故f (x) 在x ≠ 是否有意義,就不作要求,舉一個很能說明問題的例子: - 1) / (x - 1) = 2 ,函數在x = 1 處顯然是無意義,但它的極限存在.另外,如果“”被改成“”或理解定義時忽略了 ,則會發(fā)生錯誤,因為滿足“”的一切x包括了 ,那么要

66、(x) 對一切x成立, f (x) 在 就應有意義.這樣,上例就不存在極限,顯然是錯誤的.(2) 是任意小的正數,但一經給定后,就看成確定的數,從而可確定,如上例題中要使| 2 (x + 1) - 4| <分別小于= 0. 01 , = 0. 0001 ,由證明知,相應的=/ 2 = 0. 005 ,δ2=/ 2 = 0. 00005 ,故依賴于,常記為.一般說來, 愈小, 也就愈小.但要注意,在一般性證明中, 不能取成一個確定

67、的數,而是對任意小的找.(3) 對于同一個, 不是唯一的.即當符合要求時,若0 <′<,則更符合要求.因為滿足<的點X ,一定滿足，而且找</p><p>　　3.2.2 怎樣運用極限定義證明極限</p><p>　　用定義證明極限,也是學生普遍感到較為困難的,對于數列和函數的極限證明,上面已舉了兩個例子.如前所說,用定義證明極限,要緊緊圍繞兩個不等式,也就是找到符合條件

68、的N 或.基本的思路是:對于> 0 ,假設| f (x) - A|<成立,倒推不等式找出.一旦找到了,證明也就完成了.為了進一步說明其證明方法靈活性,下面再分析兩個例子.</p><p><b>　　例3.1 證明</b></p><p>　　分析:對于> 0 ,要使| - 4| <成立,即| x + 2| | x - 2|<,但這是不

69、能由| x - 2| </ | x + 2| 取得=/ (x + 2) ,因為給定后, 是可以相應確定的,而/ | x + 2| 中含有x ,并不能確定,由于是任意小的正數,它取的愈小,愈能保證|x2 - 4| <成立.故不妨先取= = 1 ,即令| x - 1| < 1 ,這時有| x + 2| = | x - 2 + 4| < | x - 2| + 4 < 1 + 4 = 5 ,則| x + 2| |x

70、 - 2| < 5| x - 2| ,那么,要使| x + 2| | x - 2| <,可使5| x - 2|<,即取=/ 5 ,因為當| x - 2| <= 1 ,同時| x - 2| < =/ 5 時,才有| - 4| = | x + 2| | x - 2| < 5| x - 2| 5/ 5 =,即| - 4| <ε成立,所以取= min{ , } = min{1 , / 5}.</p

71、><p>　　證明:對于> 0 ,取= min{1 , / 5} ,則當| x - 2| <時,</p><p>　　必有| - 4| = | x + 2| | x - 2| < 5| x - 2| < 5 / 5 =,即|- 4| <成立, ∴證畢.</p><p>　　小結:上面證明的關鍵是令| x - 2| < 1 后,將|

72、 - 4| = |x + 2| | x - 2| 擴大成5| x - 2| ,這樣| x - 2| 的系數變?yōu)槌?容易由5| x - 2| <確定,而且,由放大后5| x - 2| <成立,所以| x2 - 4| <更成立.但不能忽略放大的條件| x - 2|< 1 ,所以應取1 與/ 5 之中的小者,這樣| x - 2| <就能保證| x - 2| < 1 和| x - 2| </ 5 都成

73、立,因而能由| x - 2| <推| - 4| <,一般地,對于這類題,由| f (x) - A| <不好找到時,可先令| x - | <將| f (x) - A| 放大成a| x - | ,從而確定=/ a ,于是找到= min{,} ,到此,定義中的“總存在”得到證實,那么,找時,是否都要將| f (x) - A|放大,要看具體情況,因為不同形式的極限,定義中不等式方向不一樣,有時不用放大,而用縮小.<

74、;/p><p>　　總之,運用極限定義證明極限時,必須正確運用絕對值的基本關系式,掌握不等式的運算性質,初等函數的性質,按定義要求,緊緊圍繞兩個不等式,尋找δ的過程,有時需放大,有時需縮小,或恒等變形.通過多做練習,掌握“ε—δ”的學習方法, 從而為接下來進一步學習微積分打好扎實基礎.這樣學起來就輕松些。</p><p><b>　　4 總 結</b></p>

75、<p>　　數學是一門基礎學科，它與我們的生活息息相關，從事不同的行業(yè)，它對我們工作帶來的作用之大，都是顯而易見的。同時我們能更好的認識自然，了解事物的本質．函數的極限在自然界中有著廣泛的應用背景，因此近幾年關于函數的極限的各方面研究都取得了突破性的進展，這些研究成果滲透到了社會的方方面面，為社會的發(fā)展做出了重要的貢獻，各國的專家學者對函數的極限做了深入的研究，并且已經取得很多重要有益的結論，并且這些結論在函數的極限研究上

76、經常被采用．根據所總結的文獻來看，許多學者已對函數的極限性質、判定方法及其應用方面有了很大的研究和了解,我們所學習的函數極限只涉及1維和2維的問題,其實在我們很多實際應用方面的時候都涉及到N維的問題.隨著素質教育的普及和教育改革的深入培養(yǎng)學生綜合素質與實踐能力已成為高校的主要目標,而我們學生數學的底子比較薄,所以我們學習高等數學的知識解決實際問題是有一定難度的,尤其是貫穿微積分始終的極限概念及其思想方法對我們的學生猶如一道難以逾越的障礙

77、,希望通過本文的講解能加深同學對函數極限的認識.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]吳傳生，經濟數學-微積分［M］高等教育出版社 2003.</p><p>　　[2]李賽博，對高等數學中極限概念和極限求法的探討［J］,科學導刊2001,(1)：160.</p><p>　　[3]趙

78、云平，淺談函數極限［J］ ,科教文匯, 2009,(34)：129.</p><p>　　[4]賈玉峰，淺談高等數學中求極限的方法［J］， 赤峰學院報2008,(3)：15-17.</p><p>　　[5]宋顥，函數極限的求法探討［J］，現代商貿工業(yè)報2010 ,(12)：360—361.</p><p>　　[6]賀金波，函數極限的一種簡化求法［J］，湖南師范學

79、院報，2009,(3)：13-14. </p><p>　　[7]周學勤，未定式極限的求法［J］，牡丹江教育學院學報，2009,(3)：61-62. </p><p>　　[8]馬艷慧 ,常用極限的求法［J］，中國科技創(chuàng)新導刊2009:103.</p><p>　　[9]朱張興，關于無窮小的函數及其應用的探討［J］，科技創(chuàng)新報，2010(11)：254-258. &

80、lt;/p><p>　　[10]李進，郭軍，一類極限的冪指函數極限求法［J］，高等函授學報2008 ,(12)：30-31. </p><p>　　[11]唐新華，淺談函數極限的幾種求法及注意事項［J］，科技創(chuàng)新導報2009：67.</p><p>　　[12]任峰，淺談函數極限的若干常用求法［J］，科技創(chuàng)新導報2009：246.</p><p>

81、;　　[13]王五生，不定式函數極限的七種求法［J］，河池師專學報2004.6：5-8. </p><p>　　[14]祥輝 ，李坤花，極限的多種求法［J］，常州教育學院學報2007,(8)：185—186. </p><p>　　[15] 曾亮，幾類不定式極限的求法與技巧［J］，中國西部科技報2008,(7)：73-74. </p><p>　　[16].Walt

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