畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）定積分的應(yīng)用

1、<p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文)</p><p>　題 目：定積分的應(yīng)用</p><p>　院 系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系</p><p>　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　班 級(jí)：2009級(jí)本科1班</p><p>　姓 名：</p><p>

2、　學(xué) 號(hào)：20090501026</p><p>　指導(dǎo)教師：</p><p><b>　　定積分的應(yīng)用</b></p><p>　　【摘要】定積分是積分學(xué)中的重要內(nèi)容,是一種從許多實(shí)際問題中概括出來(lái)的特殊的極限問題,它有著很強(qiáng)的應(yīng)用性.文章主要介紹了定積分在數(shù)學(xué)、物理、工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些應(yīng)用.通過(guò)這些例子,進(jìn)一步加深我們對(duì)定積分的理解

3、,明確定積分在聯(lián)系實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題中的橋梁作用，同時(shí)拓展了我們的思維,提高我們利用定積分解決實(shí)際問題的能力.</p><p>　　【關(guān)鍵詞】定積分; 微元法; 極限</p><p>　　Application of definite integral</p><p>　　【Abstract】Definite integral is an important con

4、tent in integral calculus. It is a summary from many practical problems of special limit problem there is a strong applicability in definite integral.This article introduce some examples of application for definite integ

5、ral in mathematics, physics, engineering and economics. definite integral is presented to solve some practical problems in these disciplines and specific methods of examples.These examples make us deepen the understandin

6、g of the defi</p><p>　　【Key Words】Definite integral; Infinitesimal method; Limit</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p><b>　　2

7、定積分簡(jiǎn)史1</b></p><p>　　2.1 定積分的誕生1</p><p>　　2.2 定積分研究現(xiàn)狀2</p><p>　　3 定積分在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用2</p><p>　　3.1 利用定積分求極限2</p><p>　　3.2 利用定積分證明不等式4</p><p

8、>　　3.3 定積分在幾何中的一些應(yīng)用5</p><p>　　3.3.1 利用定積分求平面圖形面積5</p><p>　　3.3.2 利用定積分求立體的體積6 </p><p>　　3.3.3 利用定積分求曲線的弧長(zhǎng)8</p><p>　　3.3.4 利用定積分求旋轉(zhuǎn)曲面面積8</p>

9、<p>　　4 定積分在物理中的一些應(yīng)用9</p><p>　　4.1 定積分在力學(xué)中的應(yīng)用9 </p><p>　　4.2 定積分在電學(xué)中的應(yīng)用10</p><p>　　4.3 定積分在天文中的應(yīng)用11</p><p>　　5 定積分在工程中的一些應(yīng)用12</p><p>　　5.1 定積分在

10、土建工程中的應(yīng)用12</p><p>　　5.2 定積分在河床計(jì)算上的應(yīng)用13</p><p>　　6 定積分在經(jīng)濟(jì)中的一些應(yīng)用13</p><p>　　6.1 求經(jīng)濟(jì)原函數(shù)13</p><p>　　6.2 由變化率求總量14</p><p>　　6.3 求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余14</p>

11、<p>　　6.4 計(jì)算資本現(xiàn)值和投資16</p><p><b>　　7 結(jié)論18</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)19</b></p><p><b>　　致謝20</b></p><p><b>　　1 引言</b>&l

12、t;/p><p>　　微積分創(chuàng)立是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折,一個(gè)具有劃時(shí)代意義的創(chuàng)舉,也是人類文明的一個(gè)偉大成果.正如恩格斯評(píng)價(jià)的那樣“在一切理論成就中,未必再有什么象17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被當(dāng)作人類精神的最高勝利了.”定積分是微分學(xué)中的重要內(nèi)容,是微積分研究的一個(gè)核心問題,它是科學(xué)技術(shù)以及自然科學(xué)的各個(gè)分支中被廣泛應(yīng)用的最重要的數(shù)學(xué)工具：如數(shù)學(xué)、物理中的證明與計(jì)算,復(fù)雜圖形的研究,化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的分析,市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)

13、的分析等等.正是由于定積分的產(chǎn)生和發(fā)展,才使得物理學(xué)中精確的測(cè)量計(jì)算成為可能,如氣象,彈道的計(jì)算,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析等都要用的到定積分.</p><p>　　文章主要通過(guò)介紹定積分在數(shù)學(xué),物理,工程,經(jīng)濟(jì)中的一些應(yīng)用,列舉了一些具體的例子,總結(jié)了一些具體的方法,通過(guò)這些例子和方法,體現(xiàn)了定積分在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍實(shí)用性以及定積分的思想對(duì)人類的影響.通過(guò)學(xué)習(xí)研究定積分的應(yīng)用,讓我們將現(xiàn)實(shí)生活中的一些抽象的實(shí)際問題跟數(shù)學(xué)問

14、題融洽的銜接起來(lái),用運(yùn)智慧而又嚴(yán)密數(shù)學(xué)思想來(lái)解決實(shí)際問題.300多年前,受天文學(xué)的影響,牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立了定積分思想,定積分誕生于對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的需求中,定積分的應(yīng)用很好的體現(xiàn)了學(xué)以致用的思想,也很好的解決一系列現(xiàn)實(shí)問題,通過(guò)應(yīng)用定積分可以拓展我們思維,發(fā)展我們的科學(xué),使我們?cè)跀?shù)學(xué)﹑科學(xué)技術(shù)﹑經(jīng)濟(jì)等方面得到了長(zhǎng)足的發(fā)展,解決了許多的困難.下面,讓我們更好的去體會(huì)定積分.</p><p><b>　　2 定

15、積分簡(jiǎn)史</b></p><p>　　2.1 定積分的誕生</p><p>　　定積分是積分學(xué)研究的核心內(nèi)容,它誕生于實(shí)際生活的應(yīng)用中,它的發(fā)展大致可分三個(gè)階段：古希臘數(shù)學(xué)的準(zhǔn)備階段,17世紀(jì)的創(chuàng)立階段和19世紀(jì)的完成階段.</p><p>　　真正的成為積分學(xué)萌芽的當(dāng)推阿基米德用運(yùn)窮竭法求拋物線弓形的面積.16世紀(jì)中葉,積分學(xué)進(jìn)入醞釀階段,開普勒出版《

16、新空間幾何》；卡伐列利著作《不可分量幾何學(xué)》,影響巨大,到達(dá)積分學(xué)邊緣.17世紀(jì)上半葉,積分學(xué)的奠基工作緊鑼密鼓的進(jìn)行著：帕斯卡在證明體積公式時(shí)略去高次項(xiàng),費(fèi)馬的極值為定積分開辟了道路,沃利斯大膽的將有限推向無(wú)限,巴羅給出了求切線的方法！現(xiàn)代數(shù)學(xué)史家波耶認(rèn)為在所有微積分的先導(dǎo)工作中,費(fèi)馬和巴羅最接近于分析學(xué).</p><p>　　牛頓和萊布尼茨在十七世紀(jì)下半葉終于創(chuàng)立了定積分:牛頓在《流數(shù)術(shù)》一書中陳述了所研究的

17、基本問題是“已知量的關(guān)系,要算出他們的流數(shù),以及反過(guò)來(lái).”正是這一點(diǎn)是牛頓超過(guò)所有積分學(xué)的先驅(qū)者.牛頓完整的提出微分和積分是一對(duì)逆運(yùn)算并指出了轉(zhuǎn)換的公式,這個(gè)公式現(xiàn)在成為牛頓萊布尼茨公式.</p><p>　　19世紀(jì)末,經(jīng)過(guò)波爾查諾、柯西、維爾斯特拉斯、戴德金等數(shù)學(xué)家的努力,積分學(xué)的理論基礎(chǔ)基本完成,波爾查諾通過(guò)極限給出了函數(shù)連續(xù)的概念及導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義,柯西用極限給出了定積分的定義,定義了函數(shù),證明了當(dāng)在上連續(xù)

18、時(shí),在上連續(xù)、可導(dǎo),且.繼之柯西證明了的全部原函數(shù)彼此只相差一個(gè)常數(shù),因此,他把不定積分寫成：并由此推出了牛頓-萊布尼茲公式.至此,定積分基本定理得到了嚴(yán)格證明和最確切的表示形式.</p><p>　　2.2 定積分研究現(xiàn)狀</p><p>　　20 世紀(jì)的分析學(xué)基本上解決了線性空間上的線性算子（線性微分方程）的課題,目前非線性分析已成為最活躍的數(shù)學(xué)分支之一.定積分的基礎(chǔ)雖已嚴(yán)密化, 但無(wú)

19、窮小量卻不再是一個(gè)量, 而是一種變化過(guò)程.為了使無(wú)窮小和無(wú)窮大作為一個(gè)量重返數(shù)壇, 羅賓遜在1960年將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充為超實(shí)數(shù)系,無(wú)窮小量作為中的數(shù),使極限過(guò)程的表示顯得更為簡(jiǎn)單,這稱為非標(biāo)準(zhǔn)分析.</p><p>　　泛函分析的產(chǎn)生使分析學(xué)躍上新的高度.希爾伯特空間, 巴拿赫空間, 廣義函數(shù)論已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的常識(shí).無(wú)限維空間上的積分學(xué)尚未誕生,這也許是21 世紀(jì)的任務(wù).此外, 積分論仍在發(fā)展, 黎曼積分的推

20、廣仍不能說(shuō)已經(jīng)完成了.</p><p>　　定積分從20 世紀(jì)初開始進(jìn)入中學(xué).它作為人類文化的寶貴財(cái)富, 正在武裝一代又一代的新人, 終將成為世人皆知的常識(shí).它那閃耀著智慧光芒的深刻思想, 一定會(huì)哺育人類走向更高的歷史階段.</p><p>　　3 定積分在數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用</p><p>　　3.1 利用定積分求極限</p><p><

21、;b>　　例1：求極限.</b></p><p>　　分析：此題所研究的極限為項(xiàng)和的形式,由</p><p>　　可看成函數(shù)在在區(qū)間上的一個(gè)和式的極限.</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　.</b></p><p><

22、;b>　　例2：求極限</b></p><p>　　解：對(duì)所求極限進(jìn)行變形</p><p>　　其中和式時(shí)在區(qū)間上的積分和.</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　原式.</b></p><p><b>　　例3：求

23、極限</b></p><p>　　分析：此題所研究的極限為項(xiàng)積的形式,有對(duì)數(shù)性質(zhì)：</p><p>　　可知將項(xiàng)積利用恒等變形化為項(xiàng)和.</p><p><b>　　解：原式=</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　

24、　原式.</b></p><p>　　在求項(xiàng)和極限時(shí),若數(shù)列的每一項(xiàng)可提出一個(gè)形式的因子,剩余的可用一個(gè)通式表示,則可考慮用定積分求其數(shù)列的極限.</p><p>　　3.2 利用定積分證明不等式</p><p>　　定理：設(shè)與都在上可積,且,則</p><p><b>　　特別地,當(dāng)時(shí),有.</b><

25、/p><p>　　證明：任取一個(gè)分割T將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間,記分點(diǎn)為：</p><p>　　第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度表示為：</p><p><b>　　,有</b></p><p>　　特別地,當(dāng)時(shí), 所以.</p><p><b>　　例4: 證明：</b></p>&l

26、t;p><b>　　證明:；</b></p><p><b>　　設(shè)在上連續(xù),當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　故：</b></p><p>　　且,使,所以 .即:</p><p><b>　　.</b></p><p

27、>　　3.3 定積分在幾何中的一些應(yīng)用</p><p>　　3.3.1 利用定積分求平面圖形面積</p><p>　　利用定積分可以求由曲線圍成的平面圖形的面積,由定積分的幾何意義可知, 曲線及直線與x 軸所圍成的平面圖形的面積為(如圖3.1).</p><p>　　表示以為高, 為底的小矩形的</p><p>　　面積,它表示上曲邊梯

28、形面積的近似值,稱</p><p>　　為面積元素.所以我們?cè)谟?jì)算曲</p><p>　　邊梯形的面積時(shí), 只要找出它的面積元素, 并用定積分表示出來(lái)即可. </p><p>　　這種方法成為微元法. 圖3.1

29、</p><p>　　例5: 計(jì)算由兩條拋物線:所圍成的圖形的面積.</p><p>　　解: (如圖3.2) 取橫坐標(biāo)為積分變量, 變化區(qū)間為,取微元為小矩形部分, 則小矩形部分的面積為,即故所求面積為：</p><p><b>　　圖3.2 </b></p><p>　　注（1）: 以上解法也稱為 -- 型解法,即在

30、微元小矩形上固定積分變量不動(dòng),讓由小到大變化,的變化值就是最后定積分的被積函數(shù),最后再讓在區(qū)間上變化. </p><p>　　注（2）: 例5也可按另一種方法進(jìn)行求解(如圖3.3),取縱坐標(biāo)為積分變量,變化區(qū)間為,取微元為小矩形部分,則小矩形部分的面積為,即：

31、 圖3.3</p><p><b>　　故所求面積為：</b></p><p>　　. </p><p>　　以上解法也稱為 - 型解法,即在微元小矩形上固定積分變量不動(dòng),讓由小到大變化,的變化值就是最后定積分的被積函數(shù),最后再讓

32、在區(qū)間上變化.</p><p>　　3.3.2 利用定積分求立體的體積</p><p>　　設(shè)三維空間中夾在垂直于軸的兩平面與之間的一立體,若在任意一點(diǎn)處作垂直于x 軸的平面,它截得立體的截面面積是的函數(shù),記為.取為積分變量,變化區(qū)間為,任取小區(qū)間,利用微元法,相應(yīng)于小區(qū)間上截得以為底,為高薄片的體積,體積微元素可近似為：</p><p><b>　　.&

33、lt;/b></p><p>　　故立體的體積公式為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例6：如圖3.4所示,直橢圓柱體被通過(guò)底面短軸的斜平面所截,試求截得楔形體的體積.</p><p>　　分析：先求出底邊界曲線方程,再作截面垂直軸,求出截面面積函數(shù).</p><p

34、>　　解:如圖3.4所示.底面邊界曲線方程為</p><p>　　作截面垂直軸,則與楔形體交面是一個(gè)矩形, 圖3.4</p><p><b>　　其截面面積為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　取為積分變量,變化區(qū)間為,任取小區(qū)間

35、,利用微元法,相應(yīng)于小區(qū)間上薄片的體積可近似看作是以為底,為高的長(zhǎng)方體的體積,體積微元素為：</p><p><b>　　因而所求的體積為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　利用定積分也可以求旋轉(zhuǎn)體的體積.一般,設(shè)旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,直線,及軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.取為積分

36、變量,變化區(qū)間為,任取小區(qū)間,利用微元法,相應(yīng)于小區(qū)間上的旋轉(zhuǎn)體薄片的體積可近似看作是以為底半徑,為高的扁圓柱體的體積,體積微元素為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從而,這種旋轉(zhuǎn)體的體積為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例7：如圖3.5

37、,求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.</p><p>　　解：繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),因?yàn)?由公式 得</p><p>　　橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為：</p><p><b>　　圖3.5 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3.3.3 利用

38、定積分求曲線的弧長(zhǎng)</p><p>　　若曲線由參數(shù)方程給出.若為一光滑曲線,則是可求長(zhǎng)的, 且弧長(zhǎng)為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例8：求擺線一拱的弧長(zhǎng).（如圖3.6）</p><p>　　解：擺線的一拱可取.</p><p><b>　　,由公式得&l

39、t;/b></p><p>　　. 圖3.6</p><p>　　3.3.4 利用定積分求旋轉(zhuǎn)曲面面積</p><p>　　假設(shè)平面光滑的曲線的方程為,（不妨設(shè)）</p><p>　　我們可用微元法導(dǎo)出這段曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面(如圖3.7)的面積公式.</p><p>

40、;　　通過(guò)軸上點(diǎn)與分別作垂直于軸的平面,它在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條窄帶,當(dāng)很小時(shí),此帶面積近似于一圓臺(tái)的側(cè)面積,故側(cè)面積的微元為：</p><p>　　所以旋轉(zhuǎn)曲面?zhèn)让娣e為</p><p>　　. 圖3.7</p><p>　　例9：求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.</p><p>　　解：由旋轉(zhuǎn)曲面面積公式

41、得：</p><p>　　4 定積分在物理中的一些應(yīng)用</p><p>　　定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用,可以說(shuō)是定積分最重要的應(yīng)用之一,由于定積分的迅速發(fā)展,才使物理學(xué)中精確的測(cè)量計(jì)算成為可能,從而使物理學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展.</p><p>　　4.1 定積分在力學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　假設(shè)物體在變力的持續(xù)作用下，沿軌道由處移動(dòng)到處，那么在

42、上面所作的功是非均勻分布的整體量，利用微元法，我們把從到這段曲線分割成無(wú)窮小段，每一段可以近似認(rèn)為是一小段直線，稱為位移元.在每個(gè)位移元上，可近似認(rèn)為力的大小和方向沒有變化，若在該位移元上力與位移的夾角為，則力在該位移元上的元功為</p><p>　　故物體由移動(dòng)到力所作的總功為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例1

43、0：如圖4.1，一輕繩跨過(guò)無(wú)摩擦的滑輪，系在質(zhì)量為的物體上.用大小不變的力作用于繩的另一端，使物體向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)物體在水平面從移動(dòng)到時(shí)，求力對(duì)物體所做的功.已知滑輪頂比物體所在的平面高（不計(jì)物體本身高度），并且不計(jì)滑輪質(zhì)量.</p><p>　　解：如圖4.1,以滑輪正下方平面上的點(diǎn)為原點(diǎn)，沿平面向左方為坐標(biāo)軸正方向，建立坐標(biāo)軸.物體在點(diǎn)的位置坐標(biāo)是，點(diǎn)的是.因不計(jì)繩和滑輪的質(zhì)量，繩端作用于物體上拉力的大小仍為，方

44、向沿繩拉物體的方向.當(dāng)物體在任一點(diǎn)處時(shí)，拉力在軸上的投影是: 圖4.1</p><p><b>　　.</b></p><p>　　物體位移為時(shí)，力的元功為:</p><p>　　物體從運(yùn)動(dòng)到，拉力作功是:</p><p><b>　　.</b></p>

45、<p>　　4.2 定積分在電學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例11：設(shè)真空中有一均勻帶電直線,長(zhǎng)為總電量為,線外有一點(diǎn)離直線的垂線距離為,點(diǎn)和直線兩端點(diǎn)的連線之間的夾角分別為和,如圖4.2所示,求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng). </p><p>　　分析:這里產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷是連續(xù)分布的,利用微元法,首先把整個(gè)電荷

46、分布劃分為許多電荷元,求出每一電荷元的給定點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),然后根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,按的關(guān)系求總場(chǎng)強(qiáng),由于場(chǎng)強(qiáng)本身是矢量,所以必須注意選取方位適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,以便求出分量,,,再經(jīng)積分計(jì)算求得,,. </p><p>　　解:我們以點(diǎn)到直線的垂足為原點(diǎn),取坐標(biāo)軸,如圖,在帶電直線上離原點(diǎn)為處取長(zhǎng)度元,上的電量為,設(shè)直線上每單位長(zhǎng)度所帶電量,（稱為電荷線密度）,,所以:</p><p><b>

47、;　　圖4.2 </b></p><p>　　設(shè)到點(diǎn)的距離為可知在點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 方向如圖,顯然:</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　從圖可知: </b></p><p><b>　　,,.</b></p>

48、<p><b>　　所以:</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　將（1）,（2）式積分得:</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p&

49、gt;<b>　??；</b></p><p>　　可注意到,點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)的大小與該點(diǎn)離直線的距離反比,的大小和方向可從,確定.如果這一均勻帶電直線是無(wú)限長(zhǎng)的,即,那么有: </p><p><b>　　.</b></p><p>　　應(yīng)用定積分可以將一些無(wú)法直接解決的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題,通過(guò)“微元法”可以處理非均勻變化的問

50、題.</p><p>　　4.3 定積分在天文學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　在討論定積分時(shí)有兩個(gè)最基本的限制：積分區(qū)間的有限性和被積函數(shù)的有界性.但在天文學(xué)的應(yīng)用上,很多實(shí)際問題要往往需要突破積分區(qū)間的有限性,考慮無(wú)窮區(qū)間上的積分,然而它的中心原理,還是定積分的應(yīng)用.</p><p>　　例12：（第二宇宙速度問題）在地球表面垂直發(fā)射火箭,要使火箭克服地球引力無(wú)限

51、遠(yuǎn)離地球,試問初速度至少要多大？</p><p>　　解：設(shè)地球半徑為,火箭質(zhì)量為,地面上的重力加速度為,按萬(wàn)有引力定律,在距地心處火箭所受到的引力為.于是火箭從地面上升到距地心為處需作的功為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),其極限就是火箭無(wú)限遠(yuǎn)離地球需作的功.即：</p><p>&

52、lt;b>　　.</b></p><p>　　最后,由機(jī)械能守恒定律可求得初速度至少應(yīng)使.</p><p><b>　　用,代入,便得：</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　5 定積分在工程中的一些應(yīng)用</p><p>　　5

53、.1 定積分在土建工程中的應(yīng)用</p><p>　　定積分在土建工程中也有廣泛的應(yīng)用.眾所周知,萬(wàn)丈高樓平地起．沒有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).一切都是空想.而定積分在土建的地基修建中扮演著重要角色.</p><p>　　例13：某建筑工地打地基時(shí),需要?dú)忮N將樁打進(jìn)土層,氣錘每次打擊,都將克服土層對(duì)樁的阻力而做功.通過(guò)對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的分析．土層對(duì)樁的阻力大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù))氣錘第一次擊打

54、將樁打進(jìn)地下米.根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求氣錘每次擊打樁時(shí)所做的功與前一次所做的功之比為常數(shù).而氣樁的深度有嚴(yán)格的要求,因此,對(duì)打擊的次數(shù)也要精確,下面對(duì)氣錘打擊進(jìn)行研究：</p><p>　　(1)若氣錘擊打3次后,可以將樁打進(jìn)地下多深?</p><p>　　(2)若擊打次數(shù)無(wú)限．氣錘最多能將樁打進(jìn)地下多深?</p><p>　　解：(1)設(shè)第次打擊后.樁被打進(jìn)地下,第次

55、擊打時(shí),氣錘所做的功為,由題設(shè),當(dāng)樁被打進(jìn)地下深度為時(shí),土層對(duì)樁的阻力大小為,所以：</p><p><b>　　由,可得：</b></p><p><b>　　由,可得：</b></p><p>　　即氣錘擊打三次后,可將木樁打進(jìn)地下米.</p><p><b>　　由歸納法,設(shè),則&l

56、t;/b></p><p><b>　　由得：</b></p><p><b>　　從而：</b></p><p>　　即若不限擊打次數(shù),氣錘至多能將樁打進(jìn)地下米.</p><p>　　5.2 定積分在河床計(jì)算上的應(yīng)用</p><p>　　在計(jì)算河床的平均深度時(shí),可應(yīng)用

57、定積分中值定理知識(shí).定積分中值定理可應(yīng)用于計(jì)算河流、湖泊等河床橫斷面水的平均深度,以此用作河流測(cè)流、工程設(shè)計(jì)或施工的一個(gè)依據(jù).只要測(cè)量出河面在某處的寬度,河床的橫斷面形狀和河床的最大深度,則可運(yùn)用定積分中值定理知識(shí)計(jì)算該處河床的平均深度（)即：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例14：設(shè)一河流的河面在某處的寬度為,河流的橫斷面為一拋物線弓形

58、,河床的最深處在河流的中央,深度為,求河床的平均深度. </p><p>　　分析：首先,選取坐標(biāo)系使軸在水平面上,軸正向朝下,且軸為拋物線的對(duì)稱軸(如圖5.1).于是,拋物線方程為,然后,運(yùn)用定積分中值定理便可求得河床的平均深度.</p><p>　　解：河床的平均深度為：

59、 </p><p>　　=. 圖5.1</p><p>　　6 定積分在經(jīng)濟(jì)中的一些應(yīng)用</p><p>　　在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,定積分有著廣泛而又重要的應(yīng)用,下面將通過(guò)幾個(gè)具體的事例來(lái)研究定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,例如求總量生產(chǎn)函數(shù),消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余,投資決策問題等.</p><p>

60、　　6.1 求經(jīng)濟(jì)原函數(shù)</p><p>　　在經(jīng)濟(jì)管理中,由邊際函數(shù)求總函數(shù)一般采用不定積分來(lái)解決,或求一個(gè)變上限的定積分,可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù),總收入函數(shù)以及利潤(rùn)函數(shù).</p><p>　　設(shè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)的邊際函數(shù)為,則有.</p><p>　　例15：設(shè)生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品的邊際成本,其固定成本為元,產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元.假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售,問生產(chǎn)量為

61、多少使利潤(rùn)最大？</p><p>　　解：首先由邊際成本,利用變上限定積分得： </p><p>　　所以最后的總成本為：</p><p><b>　　 </b></p><p>　　又因?yàn)槭找婧瘮?shù)為,所以總利潤(rùn)為：</p><p><b>　　令 即：</b></p

62、><p>　　得： </p><p>　　故生產(chǎn)量為150個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大.</p><p>　　解決此類問題,關(guān)鍵要知道由邊際成本來(lái)求總成本采用的是變上限定積分.然后由利潤(rùn)=收益-總成本,即可求得.</p><p>　　6.2 由變化率求總量</p><p>　　在經(jīng)濟(jì)管理中,應(yīng)

63、用定積分可以解決由邊際函數(shù)求總函數(shù)或者求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量問題.</p><p>　　例16：已知某產(chǎn)品總量的變化率為(件/天),求從第一天到第四天產(chǎn)品的總產(chǎn)量.</p><p>　　解:設(shè)總產(chǎn)量為,已知第天總產(chǎn)量的變化率為,它隨變化,則總產(chǎn)量在內(nèi)的微元為.故在內(nèi)總產(chǎn)量為：</p><p><b>　　.</b></p>&

64、lt;p>　　6.3 求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余</p><p>　　在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,生產(chǎn)者希望獲得更多利潤(rùn),消費(fèi)者希望購(gòu)買物品物有所值.為了衡量消費(fèi)者與生產(chǎn)者各自的利益,我們就要研究一下如何計(jì)算這個(gè)利益,在此涉及到兩個(gè)名詞：消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.下面我們論述一下定積分在計(jì)算消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余中的應(yīng)用.</p><p>　　消費(fèi)者剩余：在經(jīng)濟(jì)學(xué)上,消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者對(duì)一定量的商品

65、或服務(wù)最多愿意支付的價(jià)錢與實(shí)際支付的價(jià)錢只差,它是對(duì)消費(fèi)者從交易中所得利益的一種貨幣度量.</p><p>　　例如：假設(shè)某消費(fèi)者對(duì)某商品的需求函數(shù)為,當(dāng)是離散型函數(shù)時(shí),我們可通過(guò)列表很容易得出結(jié)論.然而,若是一條連續(xù)曲線時(shí),那么該如何計(jì)算消費(fèi)者剩余？我們知道：一般地,需求函數(shù)圖像上的一點(diǎn)的含義是：消費(fèi)者購(gòu)買單位商品時(shí),他最多愿意為第單位商品支付單位貨幣.因?yàn)樯唐酚谐杀?所以售價(jià)不能低于某一單位貨幣,且當(dāng)時(shí),為求

66、消費(fèi)者剩余,我們先來(lái)證明如下公式：</p><p>　　當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)買單位商品時(shí),最多愿意付出的貨幣金額為：</p><p>　　證明：已知函數(shù)是上的一條連續(xù)曲線,如圖6.1所示,任取一個(gè)分割將分成個(gè)小區(qū)間,記分點(diǎn)為：</p><p>　　第k個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度標(biāo)為：</p><p>　　通過(guò)做軸的垂線,這些垂線與曲線相交,將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形

67、,任取,則當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)買單位商品時(shí),消費(fèi)者最多愿意支付的貨幣金額可以近似的看成： 圖6.1 </p><p>　　所以當(dāng)消費(fèi)者購(gòu)買商品時(shí),最多愿意支付的貨幣金額的近似值為： </p><p>　　當(dāng)時(shí),其極限即為所求：</p><p><b>　　所以：&l

68、t;/b></p><p>　　若此時(shí)市場(chǎng)價(jià)格為,則消費(fèi)者剩余為：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　生產(chǎn)者剩余：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,生產(chǎn)者剩余是指生產(chǎn)者出售一定量的商品或服務(wù)實(shí)際獲得的價(jià)錢與生產(chǎn)者最少愿意獲得的價(jià)錢只差,是對(duì)生產(chǎn)者從交易中所得利益的一種貨幣度量.</p><p>　　類似于需求函

69、數(shù),假設(shè)某生產(chǎn)者對(duì)某商品的供給函數(shù)為,一般地,供給函數(shù)圖像上的一點(diǎn)表示生產(chǎn)者出售單位商品時(shí),他最少愿意從第單位商品獲得單位貨幣,同消費(fèi)者剩余公式推導(dǎo),如果生產(chǎn)者出售單位商品,他最少愿意獲得的貨幣是,若此時(shí)市場(chǎng)價(jià)格為,那么生產(chǎn)者剩余為： </p><p><b>　　.</b></p><p>　　例17：某商品的需求函數(shù)為元.</p

70、><p>　　(1) 求消費(fèi)者購(gòu)買3個(gè)此商品時(shí)最多愿意付的錢.</p><p>　　(2) 若消費(fèi)者購(gòu)買3個(gè)商品時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為3元每個(gè),求消費(fèi)者剩余的錢.</p><p><b>　　解：（1）.</b></p><p><b>　　(2) .</b></p><p>　　例18

71、：設(shè)某商品的供給函數(shù)為,如果產(chǎn)品的單價(jià)為425元,計(jì)算生產(chǎn)者剩余.</p><p>　　解：首先求出對(duì)應(yīng)于的的值.</p><p><b>　　令,得一正解:</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　于是生產(chǎn)者剩余為:</b></p&g

72、t;<p>　　6.4 計(jì)算資本現(xiàn)值和投資</p><p>　　在投資分析過(guò)程中,為便于計(jì)算,常將投資資金的收益近似的視為是連續(xù)發(fā)生的,成為收益流.現(xiàn)值則表示為了獲取將來(lái)從收益流中得到的定量金錢,現(xiàn)在必須投資的金錢數(shù)量.若有一筆收益流的收入率為假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率計(jì)息,從而總現(xiàn)值.</p><p>　　例19:現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資,經(jīng)測(cè)算,該企業(yè)在年中可以按每年元的均

73、勻收入率獲得收入,若年利潤(rùn)為,試求:</p><p>　　該投資的純收入現(xiàn)值;</p><p>　　(2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少? </p><p>　　解:(1)求投資純收入的現(xiàn)值:因收入率為a,年利潤(rùn)為r,故投資后的T年中獲總收入的現(xiàn)值為</p><p><b>　　.</b></p>&

74、lt;p>　　從而投資所獲得的純收入的現(xiàn)值為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)求收回投資的時(shí)間:收回投資,即總收入的現(xiàn)值等于投資.由得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　即收回投資的時(shí)間為.</p><p>　

75、　例如,若對(duì)某企業(yè)投資,年利率為5%,設(shè)在20年中的均勻收入率為(萬(wàn)元/年),則有投資回收期為</p><p><b>　　(年)</b></p><p>　　由此可知,該投資在20年內(nèi)可得純利潤(rùn)為1728.2萬(wàn)元,投資回收期約為4.46年. </p><p><b>　　7 結(jié)論</b></p>

76、<p>　　通過(guò)介紹定積分在數(shù)學(xué)（求極限、證明不等式、求面積、體積、弧長(zhǎng)）,物理（力學(xué)、電學(xué)、天文）,工程（土建、河床計(jì)算）,經(jīng)濟(jì)（原經(jīng)濟(jì)函數(shù)、求總量、消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余、現(xiàn)值和投資）中的一些應(yīng)用,給出了一些解決這些實(shí)際問題的具體方法,將具體的問題轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)學(xué)問題,利用數(shù)學(xué)的知識(shí)將問題得以解答．體現(xiàn)了定積分應(yīng)用的廣泛性和普遍性,也明確了定積分是一座聯(lián)系某些實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的橋梁．通過(guò)這些例子,讓我們加深對(duì)“微元法”在

77、定積分中的應(yīng)用的理解,體會(huì)定積分定義中分割,求和,取極限的思想.研究定積分的應(yīng)用意義非凡,它不僅為我們解決一些現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題,也為我們推開了一扇思維的大門：由離散到連續(xù),由有限到無(wú)限……,讓我們突破了一些邊界的限制,打開更廣闊的空間.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)--微積分[M].北京:高等教育出版社

78、,2003:29-30.</p><p>　　[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)[M].北京:高等教育出社,</p><p>　　2001:281-288.</p><p>　　[3]蔡異欣.微積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[M].北京:中國(guó)商業(yè)出版社,1999:5-11.</p><p>　　[4]禹實(shí).應(yīng)用微積分[M].北京市:中國(guó)時(shí)政

79、經(jīng)濟(jì)出版社,2002:229-230.</p><p>　　[5]張志軍,熊德之.微積分及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2007:223-225.</p><p>　　[6]馬敏,馮梅.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].蘇州:蘇州大學(xué)出版社,2007:13-20.</p><p>　　[7]Deborah Hughes-Hallett,Andrew M.Gleason.實(shí)用微積

80、分(第三版)[M].北京：人民郵電出版社,2010:339-340.</p><p>　　[8]任樹梅,朱仲元.工程水文學(xué)[M].北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社,2001:41-45.</p><p>　　[9]張玉超.定積分的應(yīng)用[J].Chinese Times,2011,(4):10-11.</p><p><b>　　致謝</b></p

81、><p>　　首先誠(chéng)摯的感謝我的論文指導(dǎo)老師 老師。她在忙碌的教學(xué)工作中擠出時(shí)間來(lái)審查、修改我的論文,從畢業(yè)論文題目的選擇、到選到課題的研究和論證,再到本畢業(yè)論文的編寫、修改,每一步都有張老師的細(xì)心指導(dǎo)和認(rèn)真的解析。在張老師的指導(dǎo)下,我在各方面都有所提高。張老師嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍,一舉一動(dòng)中盡顯大師風(fēng)范,她一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣,她循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪,在此,謹(jǐn)向張老師致以我深