線性系統(tǒng)二次型v函數(shù)-read

1、§7—4 李雅普諾夫第二方法,為了分析運動的穩(wěn)定性,李雅普諾夫提出了兩種方法: 第一方法包含許多步驟，包括最終用微分方程的顯式解來對穩(wěn)定性近行分析，是一個間接的方法。 第二方法不是求解微分方程組，而是通過構(gòu)造所謂李雅普諾夫函數(shù)（標量函數(shù)）來直接判斷運動的穩(wěn)定性，因此又稱為直接法。,李雅普諾夫第二方法目前仍是研究非線性、時變系統(tǒng)最有效的方法，是許多系統(tǒng)控制律設計的基本工具。,例:考慮如下系統(tǒng)關

2、于零解的穩(wěn)定性：,首先構(gòu)造一個正定函數(shù)：,例：考慮小阻尼線性振動系統(tǒng)：,易于驗證，這是一個正定函數(shù)。而方程,一般說來，微分方程的解不能求得，故 v 的顯式不能得到。但卻可求出 v 沿微分方程解的導數(shù)：,當x1和x2不同時為零時，即在相平面上，除原點x1=x2=0外，總有dv/dt<0，這說明v總是沿著微分方程的運動而減小的，也就是說，運動軌線從v=C的橢圓的外面穿過橢圓走向其內(nèi)部。因此，系統(tǒng)關于零解必是漸近穩(wěn)定的。,以上例子說明，

3、我們借助于一個特殊的v函數(shù)，不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符號性質(zhì)來判斷零解的穩(wěn)定性，而我們知道，在大多數(shù)情況下，求解微分方程是做不到的。,因此，利用Lyapunov 函數(shù)判斷零解的穩(wěn)定性包含如下要點：構(gòu)造一個函數(shù)v(x1,…,xn),它具有一定的符號特性，例如證明漸近穩(wěn)定時要求v(x1,…,xn)=C(C>0),且當C趨向于零時是一閉的、層層相套的、向原點退縮的超曲面族；v(x1,…,xn)沿著解x1=x1(t),

4、…,xn=xn(t)的時間導數(shù)dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符號性質(zhì)，例如負定或半負定。,正定函數(shù) v(x) = Ci > 0 的等值線示意圖：這是一族閉的、層層相套的、當C趨向于零時向原點退縮的曲線。,一、符號函數(shù)的定義,就是這樣的函數(shù)。,例： 變號 v(x1, x2) = x1x2,本節(jié)討論方程,關于平衡狀態(tài) x = 0 的穩(wěn)定性。,二、幾個主要定理,或,首先，對函數(shù) v(x) 沿方程(7-39)解對時間 t

5、求導數(shù)：,v(x,t)正定（負定），且沿方程（7-39）,則（7-39）的零解穩(wěn)定i.s.L。,定理7-20*（Lyapunov,1892)：,的始于x、t 的運動的導數(shù),注：這是一個充分條件；若f 從而 v 不顯含t，則結(jié)論為,幾何解釋（僅討論v(x)的情形）：,由于v(x)正定， v(x)=C是一個閉的曲面族，層層相套、隨 而向原點退縮。又由 半負定知v(x)的值沿著運動軌道只能減小或保持定值而不會增加

6、，這表明系統(tǒng)關于原點（零解）是穩(wěn)定的。,例：考慮系統(tǒng)：,,,定理7-21* 若v(x)正定（負定），且v(x)沿方程 （7-39）dx/dt=f(x), f(0)=0 解的導數(shù),則（7-39）的零解漸近穩(wěn)定。,幾何解釋： 由于v(x)正定， v(x)=C是一個閉的曲面族，層層相套、隨C 趨向于零而向原點退縮。而dv/dt 負定則說明：在任一點x處，v(x) 的值都是減小的，從而在任一點x 處，運

7、動的軌線都從v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向內(nèi)部。這表明，limt?0x(t)=0，即原點（零解）是漸近穩(wěn)定的。,例：考慮小阻尼線性振動系統(tǒng)：,此時只能用定理7-20判斷系統(tǒng)李氏穩(wěn)定，盡管事實上該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。這說明：,能構(gòu)造出v(x)，滿足定理7-21*，從而判定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；能構(gòu)造出v(x)，僅滿足定理7-20*，只能得出穩(wěn)定的結(jié)論；甚至連滿足定理7-20*的v(x)也構(gòu)造不出來，這時我們對系統(tǒng)穩(wěn)定與否無法作出任何結(jié)

8、論。,對一個系統(tǒng)，構(gòu)造一個合適的 v 函數(shù)是十分重要的。若原點是漸近穩(wěn)定的，但并不預先知道這一點，則可能出現(xiàn)如下三種情況：,定理7-21** 若v(x)正定（負定），v(x)沿方程（7-39）,且沿方程（7-39）的非零解 ，dv/dt 不恒為零，則（7-39）的零解漸近穩(wěn)定。,2）定理7-21*對dv/dt負定的要求可以削弱。我們有：,定理7-22* 若有一個v(x), 滿足(1)在原點的某個鄰域‖x ‖0的區(qū)域，這種區(qū)域

9、可能包含若干個子區(qū)域 uj 。 uj的邊界是由v=0和‖x ‖= ? 所組成。,(2) 在某個子區(qū)域，v 沿（7-39）解的導數(shù),則（ 7-39）的零解是不穩(wěn)定的。,,定理7-22*的幾何意義：,v>0： uj (j=1,2,3),,定理7-25 時不變動態(tài)方程 的零解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對給定的任一個正定對稱陣N，都存在唯一的正定對稱陣M，使得,（7—44）,三、線性系統(tǒng)二次型 v 函

10、數(shù),為什么要研究這個問題？ 在控制律的設計中，通常由于A陣的參數(shù)并不確切知道，則定理7-25的充分性條件告訴我們，只要構(gòu)造一個v函數(shù)，其沿方程的導數(shù)是負定的，則系統(tǒng)一定漸近穩(wěn)定。因此，定理7-25以及其構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的思想在控制系統(tǒng)控制律設計中具有十分重要的意義。,證明：充分性：若對任給正定對稱陣N，都存在唯一的正定對稱陣M，使(7-44)成立，要證明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。為此，構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)：,對其沿方程的解

11、微分，有,由定理7-21*知零解漸近穩(wěn)定。,必要性：要證明若dv/dt=Ax漸近穩(wěn)定，則對任意給定的對稱正定陣N，有唯一的正定對稱陣M存在，使得(7-44)成立。為此，考慮矩陣微分方程,不難驗證其解為,對,積分并注意到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的假設， 有,M陣的唯一性：為此將方程（7-44）寫成,兩式相減得,因此，,又,定理5-13 設A、F和GC分別是 矩陣，則方程,有

12、 陣P唯一存在的充要條件為F與A無相同的特征值。,M陣唯一性的簡單證明方法：考慮定理5-13:,對(5-33)進行轉(zhuǎn)置并令r=n, FT= ? A, CTGT=? N, P=M（注意M已是對稱的）, 有,這里，用到了M為對稱正定陣的假設。于是，M唯一存在的充要條件是－A與AT無相同的特征值。由于A漸近穩(wěn)定，所有的根均具負實部，上述條件顯然成立，即：,證完。,幾點說明：,矩陣方程（7—44）給出了構(gòu)造這個二次型v函數(shù)的具體途徑，在指

13、定正定對稱的N陣后可求解（7-44）所定義的(1/2)n(n+1)個未知量的代數(shù)方程組。定理的結(jié)論表明A若是漸近穩(wěn)定時，這個代數(shù)方程組有唯一解存在;,2. 在求解（7—44）時比較簡單的是取N為單位陣;,當A中含有未確定參數(shù)時，可以先指定一個N陣，而后解（7—44）所確定的代數(shù)方程組，從而得到M陣，用Sylvester 定理寫出M陣正定的條件，這樣就可得到系統(tǒng)穩(wěn)定時，A中的待定參數(shù)應滿足的條件。應當指出，這些待定參數(shù)應滿足的條件是和N陣

14、的選擇無關的。,需要引起注意的是，定理7-25并不意味著以下命題成立，即,例7— 10,顯然A的特征值均有負實部，M正定，但按（7—44）計算出的,卻不是正定的。,“A漸近穩(wěn)定，M正定，由（7—44）式所得的N一定正定。”,例7-9 考慮二維系統(tǒng),求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時參數(shù)應滿足的條件。令N=I，由（7-44）式可得,上述方程組的系數(shù)矩陣A1的行列式為,若detA1?0，方程組就有唯一解，其解為,由M正定的Sylvester 判據(jù)可

15、得,(3)、(4)即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時參數(shù)應滿足的條件。,定理7-26 若定理7-25（7-44）中的N取為半正定對稱陣，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒為零，則矩陣方程,ATX+XA=?N （7-46）,注：關于定理7-26 “xTNx沿方程的非零解不恒為零”的條件不能少。例1: A漸近穩(wěn)定，N半正定，不能保證M正定,這是因為xTNx沿方程的非零解恒為零。事實上，容易算出,若將N分解為 N=

16、[1 0]T[1 0]:=CTC，則易于驗證 (A，C)不可觀測。,例2. N半正定，M正定，不能保證A漸近穩(wěn)定。,分析：1. xTNx沿方程的非零解,2. 令C=[1 0], N=CTC, 可知(A, C)不可觀測。,但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒為零，即沿非零解恒為零。,xTNx沿方程的非零解不恒為零，這時(A, C)可觀測,定理滿足。,例3：,結(jié)論： “xTNx沿方程的非零解不恒為零, ”可用(A, C)可

17、觀測代替，這里N= CTC。進而，我們有：,定理7-26* 時不變動態(tài)方程 的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對應的Lyapunov方程,（7—44）,在給定（A, N)為可觀測的半正定陣N下，方程(7-44)的解M為正定。,關于定理的證明：因為N為半正定矩陣，總可以將其分解為 N=CTC 的形式。易于證明（例如用反證法），

18、(A, N)可觀測可推得(A, C)可觀測。必要性證明：類似于定理7-25：由系統(tǒng)零解已漸近穩(wěn)定，則任給使(A，N)可觀測的半正定陣N，由積分,確定的矩陣M必滿足(7-44)且為正定（可觀測性Gram矩陣）。,充分性證明：若在給定（A, N)為可觀測的半正定陣N下，方程(7-44)的解M為正定，要證此時系統(tǒng)必定漸近穩(wěn)定。為此，考慮,這說明使 的x是零解，即沿方程的非零解dv/dt不恒為零。由定理7-

19、21**，系統(tǒng)必漸近穩(wěn)定。 證完。,例題7-11： 考慮如下三階多項式：,注: 以上證明可以去掉，根據(jù)“(A,C) 可觀測當且僅當? ={0}”這一命題就立即可以看出x0?0。,令,定義系統(tǒng)如下：,假定D0(s)和D1(s)無公因子。則D(s) 為Hurwitz 多項式當且僅當系統(tǒng)g(s)穩(wěn)定。將D0(s)/D1

20、(s)展開：,試證明勞斯判據(jù)：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定當且僅當勞斯表的第一列所有元素大于零。,則,不難驗證，g(s)可由下列系統(tǒng)實現(xiàn)：,這是一個最小實現(xiàn)，系統(tǒng)可控可觀測。現(xiàn)用Lyapunov 直接方法研究以上系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定性。為此定義N為,顯然，(A, N)可觀測。解方程,得到,欲使M正定，只要??1>0, ?2 >0, ?3 >0。,一般情形下勞斯判據(jù)的證明完全類似，參見Chi-Tsong Chen, “Linear Sys

21、tem Theory and Design ”p.417.,四、關于Lyapunov 函數(shù),應當特別注意定理7-20*-7-21**均為充分條件。這意味，即便我們不能構(gòu)造出滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的v函數(shù)，也不能因此斷言系統(tǒng)不穩(wěn)定。要證明系統(tǒng)不穩(wěn)定，須找出滿足不穩(wěn)定定理的v函數(shù)（參見高為炳《運動穩(wěn)定性基礎》）；,不通過求解微分方程而能對系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出結(jié)論的標量函數(shù)稱作系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)；,如何構(gòu)造v函數(shù)是一個復雜的問題。即使?jié)M足某系統(tǒng)的 v

22、 函數(shù)理論上存在，要找到其解析的表達式仍非易事。尋求構(gòu)造 v 函數(shù)的一般方法的企圖是不現(xiàn)實的。但對于線性系統(tǒng)，存在一些構(gòu)造 v 函數(shù)的方法。,本節(jié)對線性系統(tǒng)介紹了構(gòu)造二次型李氏函數(shù)的方法，即定理7-25、定理7-26及定理7-26*，是基于以下考慮：介紹李雅普諾夫方程(7-44)： ATM+MA=?N， 這是系統(tǒng)理論中很多問題要涉及的方程； 線性系統(tǒng)的李氏函數(shù)經(jīng)過一些變動后，往往可