§3.6馬爾可夫預測方法-geocomputation,gis

1、第七節(jié) 馬爾可夫預測方法,本節(jié)主要內(nèi)容：,幾個基本概念 狀態(tài)； 狀態(tài)轉移過程； 馬爾科夫過程； 狀態(tài)轉移概率； 狀態(tài)轉移概率矩陣。 馬爾可夫預測法 狀態(tài)轉移概率； 狀態(tài)轉移概率矩陣。,對事件的全面預測，不僅要能夠指出事件發(fā)生的各種可能結果，而且還必須給出每一種結果出現(xiàn)的概率。,馬爾可夫（Markov）預測法，就是一種預測事件發(fā)生的概率的方法。它是基于馬爾可夫鏈，根據(jù)事件的目前狀況預測其將來各

2、個時刻（或時期）變動狀況的一種預測方法。馬爾可夫預測法是對地理事件進行預測的基本方法，它是地理預測中常用的重要方法之一。,狀態(tài)。指某一事件在某個時刻（或時期）出現(xiàn)的某種結果。狀態(tài)轉移過程。事件的發(fā)展，從一種狀態(tài)轉變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，稱為狀態(tài)轉移。馬爾可夫過程。在事件的發(fā)展過程中，若每次狀態(tài)的轉移都僅與前一時刻的狀態(tài)有關，而與過去的狀態(tài)無關，或者說狀態(tài)轉移過程是無后效性的，則這樣的狀態(tài)轉移過程就稱為馬爾可夫過程。,,,幾個基本

3、概念,狀態(tài)轉移概率。在事件的發(fā)展變化過程中，從某一種狀態(tài)出發(fā)，下一時刻轉移到其它狀態(tài)的可能性，稱為狀態(tài)轉移概率。由狀態(tài)Ei轉為狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉移概率是,（3.7.1）,狀態(tài)轉移概率矩陣。假定某一個事件的發(fā)展過程有n個可能的狀態(tài)，即E1，E2，…，En。記為從狀態(tài)Ei轉變?yōu)闋顟B(tài)Ej的狀態(tài)轉移概率 ，則矩陣,幾個基本概念,稱為狀態(tài)轉移概率矩陣。概率矩陣。 一般地，將滿足條件（3.7.3）

4、的任何矩陣都稱為隨機矩陣，或概率矩陣。,,（3.7.2）,,,（3.7.3）,,幾個基本概念,不難證明，如果P為概率矩陣，則對于任何整數(shù)m>0，矩陣都是概率矩陣。,標準概率矩陣、平衡向量。,如果P為概率矩陣，而且存在整數(shù)m>0，使得概率矩陣 中諸元素皆非零，則稱P為標準概率矩陣?？梢宰C明，如果P為標準概率矩陣，則存在非零向量 ，而且 滿足

5、 ， 使得： （3.7.4） 這樣的向量α稱為平衡向量，或終極向量。這就是說，標準概率矩陣一定存在平衡向量。,幾個基本概念,狀態(tài)轉移概率矩陣的計算。

6、 計算狀態(tài)轉移概率矩陣P，就是求從每個狀態(tài)轉移到其它任何一個狀態(tài)的狀態(tài)轉移概率 。 為了求出每一個，一般采用頻率近似概率的思想進行計算。,幾個基本概念,例題1： 考慮某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的三個狀態(tài)，即“豐收”、“平收”和“欠收”。記E1為“豐收”狀態(tài)，E2為“平收”狀態(tài)，E3為“欠收”狀態(tài)。表3.7.1給出了該地區(qū)1960～1999年期

7、間農(nóng)業(yè)收成的狀態(tài)變化情況。試計算該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉移概率矩陣。,表3.7.1　某地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉移情況,從表3.7.1中可以知道，在15個從E1出發(fā)（轉移出去）的狀態(tài)中，(1)有3個是從E1轉移到E1的（即1→2，24→25，34→35）(2)有7個是從E1轉移到E2的（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30， 35→36，39→40）(3)有5個是從E1轉移到E3的（即6→7，

8、17→18，20→21，25→26，31→32）,① 計算：,所以,同理可得：,,,,,,,,② 結論：該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成變化的狀態(tài)轉移概率矩陣為,,（3.6.5）,狀態(tài)概率及其計算,狀態(tài)概率 ：表示事件在初始（k＝0）狀態(tài)為已知的條件下，經(jīng)過k次狀態(tài)轉移后，在第k 個時刻（時期）處于狀態(tài) 的概率。 且：根據(jù)馬爾可夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式，有,（3.7.6）,（3.7.7）,

9、記行向量 ，則由（3.7.7）式可以得到逐次計算狀態(tài)概率的遞推公式：,（3.6.8）,式中， 為初始狀態(tài)概率向量。,第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預測 如果某一事件在第0個時刻（或時期）的初始狀態(tài)已知，即 已知，則利用遞推公式(3.7.8)式，就可以求得它經(jīng)過k次狀態(tài)轉移后，在第k

10、個時刻（時期）處于各種可能的狀態(tài)的概率，即 ，從而就得到該事件在第k個時刻（時期）的狀態(tài)概率預測。,馬爾可夫預測法,例題2： 將例題1中1999年的農(nóng)業(yè)收成狀態(tài)記為 =[0,1,0] ，將狀態(tài)轉移概率矩陣（3.7.5）式及代入遞推公式（3.7.8）式，可求得2000——2010年可能出現(xiàn)的各種狀態(tài)的概率（見表3.7.2）。,表3.7.2　某地區(qū)1990—2000年農(nóng)業(yè)收成

11、 狀態(tài)概率預測值,終極狀態(tài)概率預測,① 定義 ：經(jīng)過無窮多次狀態(tài)轉移后所得到的狀態(tài)概率稱為終極狀態(tài)概率 ，即： ② 終極狀態(tài)概率應滿足的條件：,馬爾可夫預測法,③ 例題：在例1中，設終極狀態(tài)的狀態(tài)概率為 則,即： 求解該方程組得： ＝0.3653， ＝0.3525， ＝0.2799。 這說明，該地區(qū)農(nóng)業(yè)收成的

12、變化過程，在無窮多次狀態(tài)轉移后，“豐收”和“平收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率都將大于“欠收”狀態(tài)出現(xiàn)的概率。,在地理事件的預測中，被預測對象所經(jīng)歷的過程中各個階段（或時點）的狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉移概率是最為關鍵的。,馬爾可夫預測的基本方法就是利用狀態(tài)之間的轉移概率矩陣預測事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化趨勢。,馬爾可夫預測法的基本要求是狀態(tài)轉移概率矩陣必須具有一定的穩(wěn)定性。因此，必須具有足夠的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，才能保證預測的精度與準確性。 換句話說，馬