第十九講直角三角形

1、第十九講直角三角形,一、直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩個(gè)銳角_____.2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的_____.3.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的_____.4.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么________.,互余,一半,一半,a2+b2=c2,二、直角三角形的判定1.有一個(gè)角是_____的三角形是直角三角形.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的

2、三邊長a，b，c滿足________，那么這個(gè)三角形是直角三角形.,直角,a2+b2=c2,【思維診斷】(打“√”或“×”)1.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.　( )2.任何一個(gè)三角形都具有兩條邊長的平方和等于第三條邊長的平方.　( )3.一個(gè)三角形中，30°角所對的邊等于最長邊的一半.　( ),√,×,×,熱點(diǎn)考向一 直角三角形的性質(zhì) 【例1】(2013

3、83;泰安中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長線于F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是　　　　.,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得∠DBF，從而求得∠A的度數(shù).在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AE的長；再由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，即可求得BE的長.,【自主解答】在Rt△FDB中，∵∠

4、F=30°，∴∠DBF=60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.在Rt△AED中，∵∠A=30°，DE=1，∴AE=2.∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=2.答案：2,【規(guī)律方法】直角三角形斜邊上中線的作用1.直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系是研究線段倍、分問題的重要依據(jù)之一.2.聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線，可以溝通角

5、與角或線段與線段之間的關(guān)系，把題設(shè)與結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來，使問題得以圓滿的解決.3.重要輔助線——(1)遇直角三角形斜邊的中點(diǎn)，添加斜邊上的中線為輔助線.(2)構(gòu)造直角三角形，凸顯斜邊上的中線.,【真題專練】1.(2013·湘西中考)如圖，一副分別含有30°角和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如圖所示圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是(

6、　　)A.15°　　　B.25°　　　C.30°　　　D.10°,【解析】選A.在Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠CDE=90°―∠E=90°―30°=60°.又∵∠CDE=∠B+∠BFD，∴∠BFD=∠CDE-∠B=60°-45°=15°.,2.(2013·棗莊中考)如圖，

7、在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則△CDE的周長為　(　　)A.20B.18C.14D.13,【解析】選C.由等腰三角形的“三線合一”，得CD= BC=4；由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE=CE= AC=5.所以△CDE的周長為4+5+5=14.,3.(2013·成都中考)如圖，某山坡的坡面AB=200m，坡角∠BAC

8、=30°，則該山坡的高BC的長為　　　　m.【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，∴BC= AB= ×200=100(m).答案：100,【變式訓(xùn)練】(2013·衡陽中考)如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到C處時(shí)的線長為20m，此時(shí)小方正好站在A處，測得∠CBD=60°，牽引底端B離地面1.5m，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度(結(jié)果精確到個(gè)位).

9、,【解析】在Rt△CBD中，∵∠BCD=90°-60°=30°，∴BD= BC= ×20=10.又由勾股定理，得 .∴CE=CD+DE≈17.3+1.5≈19(m).答：風(fēng)箏離地面的高度約為19m.,4.(2013·鄂州中考)著名畫家達(dá)芬奇不僅畫藝超群，同時(shí)還是一個(gè)數(shù)學(xué)家、發(fā)明家.他曾經(jīng)設(shè)計(jì)過一種圓規(guī)，如

10、圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽(滑槽寬度忽略不計(jì))，一根沒有彈性的木棒的兩端A，B能在滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來.若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為　　　　cm.,【解析】連接OP.∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OP= AB= ×20=10(cm).答案：10,【知識(shí)拓展】直角三角形的兩個(gè)結(jié)論(1)在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜

11、邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.(2)如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.,熱點(diǎn)考向二 勾股定理 【例2】(2014·畢節(jié)中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)B′處，則BE的長為　　　　　.,【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理求出BC=4，設(shè)BE=x，則CE=4-x，

12、在Rt△B′EC中，利用勾股定理解出x的值即可.,【自主解答】 ，由折疊的性質(zhì)得BE=B′E，AB=AB′，設(shè)BE=x，則B′E=x，CE=4-x，B′C=AC-AB′=AC-AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=(4-x)2，解得：x= .答案：,【規(guī)律方法】勾股定理的應(yīng)用1.在直角三角形中，已知一邊長和另外兩邊的關(guān)系時(shí)，常借助勾股定理列出方程求解，在解決

13、折疊問題時(shí)，邊長的計(jì)算經(jīng)常用到上述方法.2.作長度 為(n為正整數(shù))的線段.注意：在直角三角形中，已知兩邊利用勾股定理求第三邊時(shí)，必須分清直角邊和斜邊，在條件不明確的條件下，要分類討論.,【真題專練】1.(2013·資陽中考)如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是　(　　)A.48　　　　B.60　　　　C.76　　　　D.80,【解析】選C.在Rt

14、△ABE中，根據(jù)勾股定理，得AB2=AE2+BE2=62+82=100，∴S陰影部分=S正方形ABCD-S△ABE=AB2- ×AE×BE=100- ×6×8=76.,2.(2014·東營中考)如圖，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行　　　　m.,【解析】如圖，設(shè)大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m，過C

15、點(diǎn)作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，∴EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6(m)，在Rt△AEC中，AC= =10(m).故小鳥至少飛行10m.答案：10,3.(2014·蘇州中考)已知正方形ABCD的對角線AC= ，則正方形ABCD的周長為　　　　.【解析】因?yàn)檎叫蜛BCD的對角線AC= ，所以由勾股定理得，正方形的邊長為1，故周長為4.答案：4,4.(

16、2014·蘇州中考)如圖，在矩形ABCD中， ，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交邊AD于點(diǎn)E，若AE·ED= ，則矩形ABCD的面積為　　　　.,【解析】連接BE.設(shè)AB=3x，則BC=5x，所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.所以ED=x，又AE·ED= ，即4x·x= ，x2= ，所以矩形ABCD的面積為3x·5x=15x2=5.答案：

17、5,【變式訓(xùn)練】(2014·南充中考)如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=8，AD=17，將此矩形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在BC邊的A′處，折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過邊AB，AD(包括端點(diǎn))，設(shè)BA′=x，則x的取值范圍是　　　.,【解析】當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，x取得最大值，此時(shí)BA′=BA=8；當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，x取得最小值，此時(shí)在Rt△DC A′中，由勾股定理可得BA′=15，∴BA′=2.答案：2≤x≤8,熱點(diǎn)考向三 勾股定理的逆定

18、理 【例3】(2013·包頭中考)如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　　　　度.,【解題探究】(1)BE′是由BE旋轉(zhuǎn)多少度得到？BE′與BE什么關(guān)系？提示：BE′是由BE旋轉(zhuǎn)90°得到的，BE′⊥BE且BE′=BE.(2)若連接EE′，得到的△EBE′是一個(gè)什么特殊的三

19、角形？提示：△EBE′是等腰直角三角形.(3)△EE′C是直角三角形嗎？若是，是怎樣得到的？提示：△EE′C是直角三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理得之.,【嘗試解答】連接EE′.∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，∴EE′=∠BE′E=45°.∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9，∴E

20、′E2+E′C2=EC2，∴△CEE′是直角三角形，且∠CE′E=90°，∴∠BE′C=∠CE′E+∠BE′E=90°+45°=135°.答案：135,【規(guī)律方法】運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形的三個(gè)步驟1.確定三角形的最長邊.2.計(jì)算最長邊的平方以及其他兩邊的平方和.3.判斷最長邊的平方是否與其他兩邊的平方和相等，若相等，則此三角形為直角三角形，否則不是直角三角形.,

21、【真題專練】1.(2014·濱州中考)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是　(　　)A.4，5，6B. 1.5，2，2.5C. 2，3，4D. 1， ，3【解析】選B.∵42+52=41≠62，1.52+22=6.25=2.52，22+32=13≠42，12+( )2=3≠32，∴A，C，D中的線段不能構(gòu)成直角三角形，故選B.,【知識(shí)歸納】判定直角三角形的兩種方法(1)當(dāng)已知條件是“三條邊”或三

22、邊的比時(shí)，利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形.(2)如果三角形某一邊的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.,2.(2013·貴陽中考)在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊.當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀(按角分類).(1)當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時(shí)，△ABC為　　　　三角形；當(dāng)

23、△ABC三邊長分別為6，8，11時(shí)，△ABC為　　　　三角形.(2)猜想：當(dāng)a2+b2　　　　c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2　　　　c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形.(3)判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍.,【解析】(1)兩直角邊分別為6，8時(shí)，斜邊= ∴△ABC三邊分別為6，8，9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6，8，11時(shí)，△ABC為鈍角三角形.答案：銳角

24、　鈍角(2)當(dāng)a2+b2>c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2　<,(3)∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤cc2，即c220，c>2 ，∴當(dāng)2 <c<6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形.,命題新視角 用勾股定理解展開與折疊問題【例】(2013·山西中考)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對角線BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長為

25、　　　　　.,【審題視點(diǎn)】,【自主解答】∵AB＝12，BC＝5，∴AD＝5，∴BD＝ ＝13．根據(jù)折疊，得AD＝A′D＝5，∴A′B＝13－5＝8．設(shè)AE＝x，則A′E＝x，BE＝12－x．在Rt△A′EB中，(12－x)2＝x2＋82，解得x＝ ，即AE的長為 ．答案：,【規(guī)律方法】解圖形折疊問題的思路1.尋找出折疊前后的不變量(即相等線段，相等角).2.發(fā)現(xiàn)圖形中直角三角形，并能靈活應(yīng)用勾股定理.3.利用

26、勾股定理建立方程求解.,【真題專練】1.(2014·牡丹江中考)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜邊AB上的中線，將△ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，如果CD恰好與AB垂直，那么∠A的度數(shù)是　(　　)A.30°　　B.40°　　C.50°　　D.60°,【解析】選A.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A

27、<∠B，CM是斜邊AB上的中線，∴AM=MC=BM，∴∠A=∠MCA，∵將△ACM沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，∴∠ACM=∠MCD，∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°，∴∠A=30°.,2.(2014·昆明中考)如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為

28、FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則△EBG的周長是　　　　cm.,【解析】由題意得EF=FD，所以在Rt△AEF中設(shè)AF=x，則EF=6-x，由勾股定理得32+x2=(6-x)2，解得x= .又∠FEG=90°，所以∠AEF+∠BEG=90°，又因?yàn)椤螦FE+∠AEF=90°，所以∠AFE=∠BEG，又因?yàn)椤螦=∠B=90°，所以△AEF∽△BGE，所以 ，即=

29、 ，解得BG=4，再由勾股定理得EG=5，所以△EBG的周長為3+4+5=12.答案：12,3.(2012·河南中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)E，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處.當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長為　　　　.,【解析】因?yàn)椤螦CB=90°，

30、∠B=30°，BC=3，所以AC= ，AB=2 ，設(shè)BD=x，則DF=x，CF=3-2x，BE=EF= ，AF2=3+(3-2x)2.(1)以AE為斜邊： +3+(3-2x)2= ，解得x=1，x=0(與點(diǎn)B重合，舍去)；(2)以AF為斜邊： =3+(3-2x)2，解得x=3(與點(diǎn)C重合，舍去)；,(3)以EF為斜邊：

31、 ，解得x=2，x=3(與點(diǎn)C重合，舍去).綜上所述，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長為1或2.答案：1或2,【巧思妙解】巧用面積，事半功倍【典例】(2012·廣州中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是　(　　)A. B. C. D.,【常規(guī)解法】選A.如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ABC

32、中，由勾股定理，得 .∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 .,【巧妙解法】選A.如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 .

33、根據(jù)三角形的面積公式，得 ·AB·CD= ·AC·BC，即解得CD= .,【解法對比】本題的“常規(guī)解法”既證明相似三角形，又兩次用到勾股定理，并且在求CD時(shí)計(jì)算比較復(fù)雜，容易出錯(cuò)；“巧妙解法”巧用兩種不同的形式表示同一個(gè)三角形的面積，非常輕巧地求出了點(diǎn)C到AB的距離.,【技巧點(diǎn)撥】面積法是一種重要的處理幾何問題方法，用不同形式表示同一個(gè)圖形的面積，把已知量與未知量有機(jī)結(jié)合起來，輕松求出