概率論與數(shù)理統(tǒng)計教材

1、教材,《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》上海財經(jīng)大學應用數(shù)學系上海財經(jīng)大學出版社 (2007版),參考書,￥58.00,中國統(tǒng)計出版社,2003-5-1,作者: （美）SHELDON ROSS,概率論基礎教程（原書第6版）      A First Course in Probability (6th Edition) 作者: （美）SHELDON ROSS   &#

2、160; 譯者：趙選民 等市場價: ￥42.00出版社: 機械工業(yè)出版社 出版日期:2006-4-1 叢書: 華章數(shù)學譯叢,第一章 事件與概率,第一節(jié) 隨機現(xiàn)象與隨機試驗,在一定條件下，必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。,例1 在平面上給一個三角形，則三個內(nèi) 角之和為180度。,一．隨機現(xiàn)象,,高等數(shù)學是研究確定性現(xiàn)象，主要研究函數(shù),注：本課程主要工具是微積分，如極限， 連續(xù)，導數(shù)，偏導

3、數(shù)，級數(shù)，定積 分，二重積分等,例2 在一個大氣壓下，沒有加熱到100度不會沸騰。,在一定條件下，可能出現(xiàn)這個結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣結(jié)果，而且不能事先確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。,例1 拋一枚硬幣。,例2 從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。,隨機現(xiàn)象又分為個別隨機現(xiàn)象和大量性隨機現(xiàn)象。,個別隨機現(xiàn)象：原則上不能在不變的條件下重復出現(xiàn)。例如歷史事件。,大量性隨機現(xiàn)象：可以在完全相同的條件下重復出現(xiàn)。

4、例如拋硬幣。,概率論只研究大量性隨機現(xiàn)象在完全相同的條件下重復出現(xiàn)時所表現(xiàn)出來的規(guī)律性。,以后隨機現(xiàn)象都是指大量性隨機現(xiàn)象。,問題：隨機現(xiàn)象難道還有規(guī)律性嗎？,例如，拋一枚硬幣。,隨機現(xiàn)象所表現(xiàn)出來的規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性。,概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究對象：,概率論和數(shù)理統(tǒng)計是研究（大量性）隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科。,概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究方法：,概率論研究方法是提出數(shù)學模型，然后研究它們的性質(zhì)，特點和規(guī)律性。,數(shù)理統(tǒng)計是以概率論的理論為

5、基礎，利用對隨機現(xiàn)象的觀察所取得的數(shù)據(jù)資料來提出數(shù)學模型，并加以應用。例如控制和預測等。,二．隨機試驗,觀察一定條件下發(fā)生的隨機現(xiàn)象稱為隨機試驗，還必須滿足下述條件：,條件實現(xiàn)一次就是一次試驗 。,試驗可以在相同的條件下重復進行；,2.試驗之前能確定所有可能發(fā)生的結(jié)果，并 且規(guī)定每次試驗有且僅有一個結(jié)果出現(xiàn)；,3.試驗之前不能確定將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。,例1 拋一枚硬幣。例2 從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品。,第二節(jié) 樣本空間和

6、隨機事件,一．樣本空間,隨機試驗的所有可能的結(jié)果放在一起組成的集合稱為樣本空間。,記為,樣本空間的每一個元素稱為樣本點。,記為,在概率論中討論一個隨機試驗時，首先要求明確它的樣本空間。,樣本空間可以根據(jù)隨機試驗的內(nèi)容來決定。 但寫法不一定惟一。,鑒于寫出樣本空間的重要性，舉一些例子。,例1 拋一枚硬幣觀察正反面出現(xiàn)的情況。,,正面,Heads,,反面,Tails,,,例2 拋二枚硬幣觀察它們正反面出現(xiàn)的況。,,,,,例3 從一工廠的某種

7、產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn) 品，觀察次品個數(shù)。,,例4 從包含兩件次品（記作,,）和三,件正品（記作,,）的五件產(chǎn)品,中，任取兩件產(chǎn)品。,,,例4 從包含兩件次品（記作,）和三,件正品（記作,）的五件產(chǎn)品,中，任取兩件產(chǎn)品。,,,例5 向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點 與目標的距離。,例6 向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點 的分布情況。,,二．隨機事件,,例4 從包含兩件次品（記作,）和三,件正品（記作,）的五

8、件產(chǎn)品,中，任取兩件產(chǎn)品。,例4 從包含兩件次品（記作,）和三,件正品（記作,）的五件產(chǎn)品,中，任取兩件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。,,,=“沒有抽到次品”,,=“抽到一個次品”,,=“抽到兩個次品”,注意：它們都是樣本空間,的子集。,樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。,常用,,表示隨機事件。,這個定義要注意的是樣本空間確定后，隨機事件所包含的樣本點只能在這個樣本空間中找。,規(guī)定：隨機事件A發(fā)生當且僅當隨機事件A 中

9、有某一個樣本點出現(xiàn) 。,,記作,這樣集合論就和概率論聯(lián)系起來了。,例5 向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落 點與目標的距離。,,隨機事件A=“距離目標不超過100米”,,,例6 向某一目標發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點的分布情況。,,隨機事件A=“距離目標不超過100米”,,考慮兩個特殊的隨機事件：,由于,，所以樣本空間,也是隨機事件。,但每做一次隨機試驗，樣本空間,,必然發(fā)生，,又稱樣本空間,,為必然事件。,由于,,，所以空集,,也

10、是隨機事件。,但每做一次隨機試驗，空集,,一定不發(fā)生，,又稱空集,,為不可能事件。,三．隨機事件的關系和運算,下面的討論都是在同一個樣本空間,為了簡單事件表示復雜事件，需要研究隨機事件的關系和運算。,,即,都是,,的子集。,上，,1．包含,若隨機事件A發(fā)生必然導致隨機事件B發(fā)生，則稱隨機事件B包含隨機事件A，或者稱隨機事件A包含在隨機事件B中。,,記為,用集合論語言，,,,,A,B,?,維恩(Venn)圖,若,,，則稱隨機事件A,與

11、隨機事件B相等，記為,2．交（積）,“隨機事件A與隨機事件B同時發(fā)生”是一個隨機事件，則稱此隨機事件為隨機事件 A與隨機事件B的交（積），記為,,用集合論語言，,,,“n個隨機事件,,同時發(fā)生”是一個,隨機事件，則稱此隨機事件為 n個隨機事件,,的交（積），記為,,，簡記為,,若隨機事件A與隨機事件B不能同時發(fā)生，則稱隨機事件A與隨機事件B互不相容或互斥。,用集合論語言，,若n個隨機事件,中任意兩個,隨機事件都不能同時發(fā)生，則稱n

12、個隨機事件,兩兩互不相容或兩兩互斥。,用集合論語言，,,3．并,“隨機事件A與隨機事件B至少有一個發(fā)生”是一個隨機事件，則稱此隨機事件為隨機事件A與隨機事件B的并，記為,用集合論語言，,,,,,?,“n個隨機事件,至少有一個發(fā)生”,是一個隨機事件，則稱此隨機事件為,n個隨,機事件,,的并，記為,，簡記為,,若n個隨機事件,,兩兩互不相容，,稱并,,為n個隨機事件,,的和，記為,,，簡記,,每次試驗隨機事件A與隨機事件B有且僅有一個發(fā)生，

13、則稱隨機事件B為隨機事件A的對立事件 （逆事件），記為,,隨機事件A也為隨機事件B的對立事件（逆事件），記為,,用集合論語言，,,A,4．對立事件（逆事件）,“隨機事件A發(fā)生，且隨機事件B不發(fā)生”是一個隨機事件，則稱此隨機事件為隨機事件A與隨機事件B的差，記為,5．差,,,用集合論語言，,,差化積：,1．吸收律：,,2．冪等律：,,3．交換律：,,三．運算規(guī)律,4．結(jié)合律：,,5．分配律：,,6．德莫根（De Morgan）律：,

14、,,運算順序：逆交并差，括號優(yōu)先,例1 在圖書館中隨意抽取一本書，隨機事件 A表示數(shù)學書 B表示中文書 C表示平裝書,則,,表示抽取的是精裝中文版數(shù)學書，,,表示精裝書都是中文書，,,表示非數(shù)學書都是中文版的書，且中文版的書都是非數(shù)學書。,例2 若,,表示第,,個射手擊中目標,則,3個射手都擊中目標：,,3個射手都未擊中目標：,3個射手中至少有一個擊中目標：,,3個射手中

15、至少有一個未擊中目標：,,,3個射手中至少有二個擊中目標：,,如果隨機事件,,在,,次試驗中發(fā)生了,,次，稱比值,,為隨機事件,的頻率，,記為,,,隨機事件,發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為,隨機事件,發(fā)生的概率（probability），,記為,,,頻率具有穩(wěn)定性。,第三節(jié) 頻率與概率,第四節(jié) 古典概型與幾何概率,一．古典概型,一個隨機試驗的樣本空間為,滿足以下性質(zhì)：,（1）樣本點總數(shù)有限，即,,有限；,（2）每個樣本點出現(xiàn)的概率相等，即,

16、,,稱滿足以上2個性質(zhì)的模型為古典概型。,隨機事件,,,定義,稱此概率為隨機事件,,的古典概率。,,,,例1 將一枚均勻?qū)ΨQ的硬幣拋3次，觀察正反面，,（1）寫出樣本空間；,（2）設事件,,為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求,,（3）設事件,為“至少有二次出現(xiàn)正,面”，求,,,例2 任取一個正整數(shù)，求它是奇數(shù)的概率。,,例3 擲兩顆骰子，求它們點數(shù)之和為3的概率。,,設,=“它們點數(shù)之和為3”,說明有限性,說明等可能性,例4 P9 例1-12,

17、袋中有a個白球和b個黑球，每次從袋中任取一球，取出的球不再放回去，求第k次取到白球的概率。,,說明用不同的樣本空間解決問題,例5 P8 例1-10,某批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，無放回地從中任取n件產(chǎn)品，問恰好有k件次品的概率是多少？,,注：這是一個重要模型,例6 任取一個正整數(shù)，求該數(shù)的平方末位數(shù)為1的概率。,設,=“該數(shù)的平方末位數(shù)為1”,例7 討論福利彩票和體育彩票。,,,,在一次乒乓球比賽中設立獎金1千元.比賽規(guī)定誰先勝了

18、三盤,誰獲得全部獎金.設甲,乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了3盤, 甲兩勝一負, 由于某種特殊的原因必須中止比賽.問這1000元應如何分配才算公平?,問 題,二．幾何概率,設有一個有界區(qū)域,，區(qū)域中的每個點,出現(xiàn)的可能性相同，,事件,表示,點落在,,中，則定義,,為事件,,的幾何概率。,例1 P10 會面問題,兩人約定于0到T時內(nèi)在某地會面，先到者等,,時后離開，假定兩人在0到T時內(nèi)各,時刻到達的可能性相等，求兩人能會面的概率。,,

19、例2 P11 蒲豐投針問題,,第五節(jié) 概率的公理化定義和性質(zhì),一．概率的公理化定義,,古典概率的基本性質(zhì)：,1．（非負性）對任何事件,,,2．（規(guī)范性）,,3．（有限可加性）若事件,兩兩互不相容，則,幾何概率的基本性質(zhì)：,1．（非負性）對任何事件,2．（規(guī)范性）,3．（可列可加性）若事件,兩兩互不相容，則,一般概率的定義，即概率公理化定義：,,,隨機事件,發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為,隨機事件,發(fā)生的概率（probability），,記為,

20、,,1．（非負性）對任何事件,2．（規(guī)范性）,3．（可列可加性）若事件,兩兩互不相容，則,還必須滿足以下3條公理：,柯爾莫哥洛夫,1903年4月25日生于俄國坦波夫,1987年10月20日卒于蘇聯(lián)莫斯科,Kolmogorov,A.N.,最為人所道的是對概率論公理化所作出的貢獻,1939年，他被選為蘇聯(lián)科學院數(shù)理部院士,1980年鑒于他“在調(diào)和分析、概率論、遍歷論和動力系統(tǒng)深刻而開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)”而獲得沃爾夫(Wolf)獎,他一生共寫學

21、術(shù)論文(包括合作)488篇,他是20世紀蘇聯(lián)最有影響的數(shù)學家，也是20世紀世界上為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學家之一,他研究的領域非常廣泛，幾乎遍及一切數(shù)學領域,二．一般概率的性質(zhì),性質(zhì)1：,性質(zhì)2：（有限可加性）設,兩兩互不相容，則,,性質(zhì)3：,,例1 有4張壹分，3張貳分，2張肆分和1張捌分的郵票，任取其中3張，求,（1）取出的3張郵票的總值為壹角的概率；,（2）取出的3張郵票中至少有2張郵票的面 值相同的概