第二章導(dǎo)數(shù)與微分[0001]

1、,,§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念§2.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則§2.3 高階導(dǎo)數(shù)§2.4 函數(shù)的微分,,,,,,,,,第二章 導(dǎo)數(shù)與微分,,,,,,§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念,一、引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、利用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,,,,,,,,,,,,,§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念,一、引出導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)例,設(shè)一物

2、體作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)的路程 和時(shí)間 的關(guān)系為 ,現(xiàn)要求該物體在某一時(shí)刻 的瞬時(shí)速度,,為此,讓時(shí)間 發(fā)生一個(gè)微小的改變 ,則時(shí)間由 變化到了 ,該區(qū)間經(jīng)過的時(shí)間是 ,雖物體在作變速運(yùn)動(dòng),但由于 很小.因此在區(qū)間 上可近似的看作勻速運(yùn)動(dòng),即速度看作是不變的(實(shí)際上有一些微小

3、的變化,但變化很小很小).其平均速度為:,1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,,,顯然, 越小, 與 越接近.為此令 ,對上式取極限得,2.曲線上一點(diǎn)切線的斜率,設(shè)有一曲線 , 是其上一點(diǎn),求過該點(diǎn)的切線斜率 .,設(shè)自變量由 點(diǎn)變化到了 ,則過,,,,,,,,,,,,,,,,,

4、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,演示,,,,,上面兩個(gè)例子的實(shí)際意義完全不同，但從抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系來看，其實(shí)質(zhì)是一樣的，都是函數(shù)的改變量與自變量改變量之比，當(dāng)自變量趨于零時(shí)的極限，數(shù)學(xué)上把這種極限叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．,,即,二、導(dǎo)數(shù)的定義 1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義 定義2.1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn) 處取得改變

5、量 時(shí)，函數(shù) 取得相應(yīng)的改變量 ,如果 時(shí),極限,,存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，其極限值稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記作,即,如果令 則 在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)又可以表示為,有了導(dǎo)數(shù)的概念后，前面兩個(gè)問題便可

6、敘述為:,如果上述極限不存在,則稱該函數(shù)在 點(diǎn)不可導(dǎo).,,,,,由導(dǎo)數(shù)定義可得求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的改變量 ；（2）計(jì)算比值（3）求極限,,（1）作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)刻 的瞬時(shí)速度 , 就是路程函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) ，即 （2

7、）曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率 就是函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ，即,例1 求函數(shù) 在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),解,既然極限包括有左極限和右極限，而由定義知導(dǎo)數(shù)顯然也是一種極限,因此同樣的道理， 導(dǎo)數(shù)也可分為左、右導(dǎo)數(shù)．,,,,,,,,,,,2.函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù),,,,,定義 如果極限

8、 存在， 則稱此極限為函數(shù) 在 點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記作 ；如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的右導(dǎo)數(shù)，記作 ． 函數(shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù) 在 點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)存

9、在且相等,即,定義2.2 若函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)．,,,顯然，函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ,就是其導(dǎo)函數(shù) 在 點(diǎn)的函數(shù)值,即,三、利用定義計(jì)算導(dǎo)數(shù) 下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義來求部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．,1．常函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,2.冪函數(shù)

10、的導(dǎo)數(shù),,,,,即,,,注意: 對于一般的冪函數(shù) ,類似有 (后面再證),3．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,,,,,同理可得,4．對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,特別地，當(dāng) 時(shí)，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)

11、數(shù) 就是曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率 ，即 . 這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．,因此，曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為,,,,,,,,,,,,,,法線方程為,,,,,,,例３ 求曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程和法線方程．,解,,,,,,因此切線方程為

12、 ，即,,,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,,,定理2.1 如果函數(shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在 處必連續(xù)．,,,所以有,即函數(shù) 在 點(diǎn)處連續(xù)．,,,,注意: 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義就可以從幾何圖形上判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處的可導(dǎo)性問題.,,,,,,注意:這個(gè)定理的逆命題不一定成立．即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，不是充分條件．,顯然兩者不相等, 所以

13、 不存在(見圖),,,,,,2．函數(shù) 在點(diǎn) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？,,,,,,,,一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,注1: 該法則可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形,本節(jié)我們將介紹導(dǎo)數(shù)的基本公式及運(yùn)算法則，借助于這些公式和法則，就能比較方便地求出常見的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．,,§2.2 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則,注2: 該法則可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)乘

14、積的情形,特別地，當(dāng) 時(shí)，則有,例1 設(shè) ， 求 ．,解,,,,,,例2 設(shè) ，求,,解,,例3 設(shè) ,求 ．,,,,,例4 設(shè) ，求 ．,解,解,即,,,

15、,,,,,,,,,同樣方法可以求出,,,例4 設(shè) ，求 ．,,,解,,例5 試求經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線 相切的直線方程．,,,,,,,,,．,,,,解 設(shè)所求直線方程為 ，直線與曲線的切點(diǎn)為 ，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知， 所以,又切點(diǎn)

16、是曲線和切線的公共點(diǎn)，從而,,,,,,,,,,,,,,,二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理2.2 如果函數(shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)，而函數(shù) 在對應(yīng)的點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù) 也在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且有,或,注1:這個(gè)公式可以推廣到兩個(gè)以上函數(shù)復(fù)合的情形．,,例６ 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)．,,

17、,,解 設(shè) ，則,,,,,,,,,,,,,,,,例7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,顯然是由 兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的,因此,顯然是由 兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的,因此,顯然是由 三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的,因此,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,注2:對

18、于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，在運(yùn)用公式熟練之后，計(jì)算時(shí)就不必寫出中間變量了．,例8 求 的導(dǎo)數(shù)．,解,例9 求 的導(dǎo)數(shù),解,例10 求 的導(dǎo)數(shù),解,,,,,,,,,,,,,,三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,,,,,,,,,,,,,,有些隱函數(shù)可化成顯函數(shù)，如由方程

19、 解出 , 則隱函數(shù)化成了顯函數(shù)，但有些隱函數(shù)不易化成顯函數(shù),例如隱函數(shù) .因此,尋找一種不用化為顯函數(shù)就可以直接由方程求出其導(dǎo)數(shù)的方法就成了我們所關(guān)心的主要問題.,下面介紹由方程 所確定的隱函數(shù) 的直接求導(dǎo)方法：,將方程 兩邊逐項(xiàng)對自變量 求導(dǎo)數(shù),在求導(dǎo)過程中， 把

20、 看成 的函數(shù)，可得到包含 及 和 的一個(gè)方程 ，從中解出 ，即得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例11 求由方程 所確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),解 方程 的兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)數(shù),解之得,,,,,,例13 求由方程 確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ．,

21、解 方程兩邊對求導(dǎo)，得,解出,例12 求由方程 確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ．,解 方程兩邊對 求導(dǎo)，得,解之得,,,,,,,,,方程兩邊先同時(shí)取自然對數(shù)，然后將取了對數(shù)的結(jié)果利用對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行充分化簡,最后將化簡后的結(jié)果看作隱函數(shù),應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出其導(dǎo)數(shù)． 此方法一般適用于幾個(gè)因子通過乘、除、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)及冪指函數(shù)的情形的求導(dǎo)．,四、取對數(shù)求導(dǎo)法,

22、例12 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),解 顯然直接是不好求的, 我們將其兩邊取對數(shù)得,,化簡得,即有,注意:該題也可以用下列方法求得, 即將冪指函數(shù)分別看作冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求出其導(dǎo)后相加機(jī)可.如該題,,例13 求冪函數(shù) 是任意實(shí)數(shù)) 的導(dǎo)數(shù),,解 兩邊取自然對數(shù)并化簡，得,,,,,,,將其看作隱函數(shù)兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)得,,,,,于是,即,例14

23、求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)．,解 兩邊取自然對數(shù)并化簡，得,兩邊對 求導(dǎo)，得,上式兩邊對 求導(dǎo)，得,,,,,,,,,,,,,,于是,,五、基本導(dǎo)數(shù)公式,歸納以上所的結(jié)論得如下基本公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,,,,,習(xí)題2-2,2．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,,,,,,(1),(2),,,,,,(3),,3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,1. 用

24、導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),在 點(diǎn)處,在 點(diǎn)處,(1) (2),(3) (4),4．求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,(7) (8),(3)

25、 (4),(5) (6),(1) (2),(1) (2),(1) (2),,,,,,,,,,,,,5．求下列方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

26、：,,,,求,6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,,,7．求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程和法線方程．,,,,,§2.3　高階導(dǎo)數(shù),,相應(yīng)地，把 的導(dǎo)數(shù) 叫做函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)．,,,,,,,,,,,解,例2 求 的 階導(dǎo)數(shù)．,例1 求函數(shù)

27、 的二階及三階導(dǎo)數(shù)．,解 因?yàn)?所以,,,,,,,,例3 求函數(shù) 的 階導(dǎo)數(shù)．,,解 因?yàn)?,,,,所以,,,,,,,,,,,,§2.4　函數(shù)的微分,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時(shí)函數(shù)改變量的大小．這就需要引進(jìn)微分的概念．,一、微分的概念,,,面

28、積改變的近似值是多少?,可以把 分成兩部分 第一部分 是 的線性函數(shù)(圖中天藍(lán)部分)， 第二部分 (圖中純藍(lán)部分)，當(dāng) 時(shí)，是比 較高階的無窮小量，因此當(dāng) 很小時(shí)，我們用 近似地表示 ,即,,,,,,,,,,,,上述結(jié)論對于一般的函數(shù)是否成立呢?下面說明對

29、于可導(dǎo)函數(shù)都有此結(jié)論．,,設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)，則有,根據(jù)函數(shù)極限與無窮小量的關(guān)系得,,,,于是,,,,當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的改變量 表示成兩部分之和，一部分關(guān)于 的線性函數(shù) ，通常把它叫做 的線性主部；另一部分當(dāng) 時(shí)，是比 較高階的無窮小量，所以當(dāng) 很小時(shí)，有,,,,,,,,一般地

30、有,,注1: 規(guī)定自變量的微分就等于其改變量,即 .于是有 即函數(shù),,,,,在點(diǎn) 處的微分等于該函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積.,注2: 對 兩邊同時(shí)除以 后得到 ,它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,可見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量微分的商,因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商

31、.,,,,,,,,,例1 求下列函數(shù)的微分,解 (1) 因?yàn)?例2　已知 求 及 ．,解,二、 微分的幾何意義,所以,(2) 方程 兩邊同時(shí)對 求導(dǎo),并把 看作 的函數(shù),得,解之得,故,,,,,,,,,,,,,,,,,設(shè)函數(shù) 的圖象如下圖所示．在曲線上取定一點(diǎn)

32、 ，過該點(diǎn)作曲線的切線 它與 軸的交角為 ，則該切線的斜率為,,,,,,,,,,,,,,演 示,,,三、微分的基本公式與運(yùn)算法則 根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積，所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運(yùn)算法則．,1．微分基本公式,,,（9）,微分的幾何意義：在曲線 上點(diǎn) 處

33、，當(dāng)自變量 取得改變量 時(shí)，曲線在該點(diǎn)處切線縱坐標(biāo)的改變量即是函數(shù) 在 點(diǎn)處微分的幾何意義.．,2．微分的運(yùn)算法則,設(shè) 在 點(diǎn)均可微,則有,,,,,四、微分形式的不變性,,,,,,,由此可見，無論 是自變量還是其它變量 的函數(shù)，其微分的形式均保持不變．這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性．,例3 求,解,例4 求由方程所確定的

34、隱函數(shù) 的微分．,解 對方程兩邊求微分,,,,,,,,所以,例5　 在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立,,,,解,,一般有,,,,,一般有,五、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用,由微分的定義知，當(dāng) 很小時(shí)，有近似公式,可以用該式直接計(jì)算函數(shù)增量的近似值,又因?yàn)?所以近似公式又可寫作,,,,,,,,,該式可以用來計(jì)算函數(shù)在 點(diǎn)附近的近似值．,取

35、 時(shí)上式又變?yōu)?,,,,,例6 求 的近似值,若分別令 則會得到以下近似計(jì)算公式(當(dāng) 比較小時(shí)成立):,,,,,,,,,,,,,,,,例7 求 的近似值,解,例8 求

36、 的近似值,解 由于角度較大,所以不能使用公式,可令,代入公式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,課后作業(yè),習(xí)題2-4 總復(fù)習(xí)題二,習(xí)題2－4,1．已知函數(shù) ,當(dāng) ，求 ，．,2．求下列函數(shù)的微分：,3．求下列函數(shù)的近似值：,,,,,,,,,,,,,,,,時(shí)間,路程,已知路程

37、和時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,物體作變速直線運(yùn)動(dòng)示意圖,,,,演示,,解,,因此切線方程為 ，即,,,法線方程為,,,即,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理2.1 如果函數(shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在 處必連續(xù)．,,,證明 因?yàn)楹瘮?shù) 在 點(diǎn)處可導(dǎo)，則,,存在,所以有,,即函數(shù)

38、 在 點(diǎn)處連續(xù)．,注意:這個(gè)定理的逆命題不一定成立．即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，不是充分條件．,如函數(shù) 連續(xù)，但不可導(dǎo)．因?yàn)?,右導(dǎo)數(shù),,左導(dǎo)數(shù),,顯然兩者不相等, 所以 不存在(見圖),,,,,,的圖象,,,,,,返回,,,,,,,,,,,,,,,,,,可導(dǎo)點(diǎn)為,導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是,導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用,,,,,,,,演示,,,初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)求法的