導(dǎo)數(shù)中分類討論的三種常見類型

1、1導(dǎo)數(shù)中分類討論的三種常見類型高中數(shù)學(xué)中，分類討論思想是解決含有參數(shù)的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要途徑，而所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的研究對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究處理時(shí)，對(duì)研究對(duì)象按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類的對(duì)象進(jìn)行分別的研究并得出結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對(duì)問題進(jìn)行整體的解釋.幾乎所有的高中生都對(duì)分類討論思想有所了解，而能正確運(yùn)用分類討論思想解決問題的不到一半，不能運(yùn)用分類討論思想解決具體問題的主要原因是對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題不知道該

2、不該去分類以及如何進(jìn)行合理的分類，下面根據(jù)導(dǎo)數(shù)中3種比較常見的分類討論類型談?wù)剬?dǎo)數(shù)中如何把握對(duì)參數(shù)的分類討論.1.導(dǎo)函數(shù)根的大小比較導(dǎo)函數(shù)根的大小比較實(shí)例實(shí)例1：求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間.??321132afxxxaxa?????xR?分析：分析：對(duì)于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，基本上都是用求導(dǎo)法，所以對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可以得到導(dǎo)函數(shù)??321132afxxxaxa?????，觀察可知導(dǎo)函數(shù)可以因式分解為????21fxxaxa????，由此

3、可知方程有兩個(gè)實(shí)根????????211fxxaxaxax?????????0fx?，，由于的范圍未知，要討論函數(shù)1xa?21x??a的單調(diào)性，需要討論兩個(gè)根的大小，所以這里分??321132afxxxaxa?????，，三種情況進(jìn)行討論：1a??1a??1a??當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下：1a????fx??fxxx??a??a??1a?1??1?????fx0_0??fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和

4、，單調(diào)遞減區(qū)間為??fx??a????1???.??1a?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1a????0fx?R??fx，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.??????當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下：1a????fx??fxx3若即，則方程有兩個(gè)不同實(shí)根，24120a????33aa???或23210xax???由求根公式可解得，，顯然2133aax????2233aax????12xx?此時(shí)，隨的變化情況如下：??fx??fxxx??1x??1x

5、??12xx2x??2x????fx0_0??fx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)33a?????fx??????遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和33aa???或??fx233aa?????????????，單調(diào)遞減區(qū)間為233aa?????????????223333aaaa??????????????點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：實(shí)例2和實(shí)例1都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是兩道題分類討論的情況不一樣，實(shí)

6、例2主要是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程根的情況未知，所以需要討論根的存在性問題，而實(shí)例1是因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的方程可以因式分解，所以可以確定方程的根肯定是存在的，因此不用再討論，而需要討論的是求出來兩個(gè)根的大小關(guān)系，實(shí)例2則相反，實(shí)例2在方程有兩個(gè)不同實(shí)根的情況下求出來的兩根大小已知，所以不用再討論。通過這兩道實(shí)例可以知道，在分情況討論的時(shí)候弄清楚討論的必要性是很重要的，不能以偏概全。3.導(dǎo)函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系導(dǎo)函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系實(shí)例

7、實(shí)例3：已知函數(shù)，函數(shù)，，若??2lnfxxx??????2gxfxxax???0a?時(shí)，的最小值是3，求實(shí)數(shù)的值.（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）??0xe???gxae分析：分析：由題意可以求得，且函數(shù)的定義域?yàn)椋阎??lngxaxx????gx??0??的是函數(shù)在上的最小值是3，而函數(shù)最值的討論通常是以單調(diào)性的??gx??0e討論為基礎(chǔ)，所以可以先考慮函數(shù)在上的單調(diào)性，因此對(duì)進(jìn)行??gx??0e??gx求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)?，所以令解??