平面向量的線性運(yùn)算及練習(xí)

1、平面向量的線性運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)過程學(xué)習(xí)過程知識點一：向量的加法知識點一：向量的加法（1）定義已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點A，作＝，＝，則向量abrrABarBCbr叫做與的和，記作，即＝＋＝ACarbrab?rrab?rrABBCAC求兩個向量和的運(yùn)算，叫做叫向量的加法這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則說明：①運(yùn)用向量加法的三角形法則時，要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量

2、的起點指向第二個向量終點的向量即為和向量.②兩個向量的和仍然是一個向量，其大小、方向可以由三角形法則確定③位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型（2）向量加法的平行四邊形法則以點O為起點作向量aOA?，，以O(shè)AOBOBb?uuurr為鄰邊作，則以O(shè)為起點的對角線所在向量OACBY就是的和，記作=。OCuuurabrrab?rrOCuuur說明：①三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點的兩向量求和，但兩

3、共線向量求和時，則三角形法則較為合適.②力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型③對于零向量與任一向量00aaaa????rrrrrr，（3）特殊位置關(guān)系的兩向量的和①當(dāng)向量a與b不共線時，ab的方向不同向，且|ab||b|，則ab的方向與a相同，且|ab|=|a||b|；若|a||b|，則ab的方向與b相同，且|ab|=|b||a|.（4）向量加法的運(yùn)算律①向量加法的交換律：ab=ba②向量加法的結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

4、知識點二：向量的減法知識點二：向量的減法（1）相反向量：與長度相同、方向相反的向量.記作ar（1）兩個向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法則和平行四邊形法則確定，這兩種法則本質(zhì)上是一致的共線向量加法的幾何意義，為共線向量首尾相連接，第一個向量的起點與第二個向量的終點連接所得到的有向線段所表示的向量（2）可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量ab?rrbrar（3）實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘向量數(shù)乘的幾何意

5、義就是幾個相等向量相加（4）向量()與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使＝。arar?0rbr?br?ar練習(xí)練習(xí)例1已知任意兩個非零向量，作，試判斷abrr23OAabOBabOCab??????uurrruuurrruuurrrA、B、C三點之間的位置關(guān)系解：∵＝－＝a2b－(ab)＝b，ABuuurOBOA且＝－＝a3b－(ab)＝2b，ACuuurOCOA∴＝2ACuuurABuuur所以，A、B、C三點共線例2.如圖，平行四邊形

6、ABCD的兩條對角線相交于點，且＝，＝，試用，表示向MABuuurarADuuurbrarbr量MAMBMCMDuuuruuuruuuruuur解析：解析：=，所以AMMC?uuuruuur1()2ab?rr所以1()2MAab???uuurrrDMMB?uuuuruuurMAAB??uuuruuur1()2ab??rr1()2MDba??uuurrr例3.一艘船從長江南岸A點出發(fā)以5kmh的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的流速為

7、向東2kmh⑴試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）；⑵求船實際航行速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到度).分析：速度是一個既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：解析：⑴如圖，設(shè)表示船向垂直于對岸行駛的速度，表示水流的速度，以ADABAD、AB作鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度.AC⑵在Rt△ABC中，||＝2，||＝5，ABBC∴||＝A