“數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用

1、1“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”在初中數(shù)學(xué)中的運用在初中數(shù)學(xué)中的運用一、以數(shù)助形一、以數(shù)助形“數(shù)（代數(shù)）”與“形（幾何）”是中學(xué)數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，而這兩個方面是緊密聯(lián)系的體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題中，包括“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”兩個方面“數(shù)”與“形”好比數(shù)學(xué)的“左右腿”全面理解數(shù)與形的關(guān)系，就要從“以數(shù)助形”和“以形助數(shù)”這兩個方面來體會此外還應(yīng)該注意體會“數(shù)”與“形”各自的優(yōu)勢與局限性，相互補充“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

2、分家萬事非”華羅庚的這四句詩很好地總結(jié)了“數(shù)形結(jié)合、優(yōu)勢互補”的精要，“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位要在解題中有效地實現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點，，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個結(jié)合點：（1）利用數(shù)軸、坐標系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）；（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理

3、證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等例1已知平面直角坐標系中任意兩點和之間的距離可以用公式11()Axy小22()Bxy小計算利用這個公式計算原點到直線的距離221212()()ABxxyy????210yx??解：設(shè)是直線上的任意一點，它到原點的距離是(210)Pxx?小210yx??222(0)(2100)5(4)20OPxxx????????當時，4x??25OP?小小所以原點到直線的距離為210yx??25

4、【說明】建立坐標系，利用坐標及相關(guān)公式處理一些幾何問題，有時可以避免添加輔助線（這是平面幾何的一大難點）在高中“解析幾何”里，我們將專門學(xué)習(xí)利用坐標將幾何問題代數(shù)化例2已知的三邊長分別為、和（m、n為正整數(shù)，且）求ABC?22mn?2mn22mn?mn?的面積（用含m、n的代數(shù)式表示）ABC?【分析分析】已知三角形三邊求面積一般稱為“三斜求積”問題，可用“海倫公式”計算，但運用“海倫公式”一般計算比較繁，能避免最好不用本題能不能避免用“

5、海倫公式”，這要看所給的三角形有沒有特殊之處代數(shù)運算比較過硬的人可能利用平方差公式就可以心算出來：，也就是說，的三邊滿足勾股定理，即222222222()()(2)(2)(2)mnmnmnmn?????ABC?是一個直角三角形ABC?“海倫公式”：三角形三邊長為a、b、c，p為周長的一半，則三角形的面積S為：()()()Sppapbpc????解：由三邊的關(guān)系：2222222()(2)()mnmnmn????所以是直角三角形ABC?所以

6、的面積ABC?22221()(2)()2mnmnmnmn?????【說明】利用勾股定理證明垂直關(guān)系是比較常用的“以數(shù)助形”的手法另外，熟練的代數(shù)運3種數(shù)學(xué)思想的一種具體體現(xiàn)二、以形助數(shù)二、以形助數(shù)幾何圖形具有直觀易懂的特點，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅幾何直觀運用于代數(shù)主要有以下幾個方面：（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：正方形的

7、分割圖可以用來記憶完全平方公式；將兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式；等等（2）利用數(shù)軸或坐標系將一些代數(shù)表達式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡化代數(shù)運算比如：絕對值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點之間的距離；數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實數(shù)的取值范圍；互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱（更一般地：實數(shù)與在數(shù)軸上關(guān)于對稱，換句話說，ab2ab?數(shù)軸上實數(shù)關(guān)于的對稱點

8、為）；ab2ba?利用函數(shù)圖像的特點把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離，等等；一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與軸的交點；x函數(shù)解析式中常數(shù)項的幾何意義是函數(shù)圖像與軸的交點（函數(shù)在時有意義）；y0x?銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例例5已知正實數(shù)，求的最小值x224(2)1yxx?????分析分析：可以把整理為，224(2)1xx????2222(0)(0

9、2)(2)(01)xx???????即看作是坐標系中一動點到兩點（0，2）和（2，1）的距(0)x小離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題解：，2222(0)(02)(2)(01)yxx????????令、A（0，2）和B（2，1），則(0)Px小yPAPB??作B點關(guān)于x軸的對稱點，則y的最小值為(21)B?小223213AB???例6已知，，求證：1tan2??1tan3??45?????【分析分析】根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足