ychx4運(yùn)籌學(xué)4

1、運(yùn)籌學(xué),動(dòng)態(tài)規(guī)劃,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念與模型,靜態(tài)決策 一次性決策,動(dòng)態(tài)決策 多階段決策,多段決策過(guò)程,…,…,n個(gè)決策子問(wèn)題K稱(chēng)為階段變量xk描述k階段初的狀態(tài)，稱(chēng)為狀態(tài)變量一般把輸入狀態(tài)稱(chēng)為該階段的階段狀態(tài)。uk的取值代表k階段對(duì)第k子問(wèn)題所進(jìn)行的決策，稱(chēng)為k階段的決策變量rk為k階段從狀況xk出發(fā),做決策uk之后的后果，稱(chēng)為k階段的階段效應(yīng)。,具有無(wú)后效性的多段決策過(guò)程,Xk+1=Tk (xk, uk)系

2、統(tǒng)從k階段往后的決策只與k階段系統(tǒng)的狀態(tài)xk有關(guān),而與系統(tǒng)以前的決策無(wú)關(guān)，則稱(chēng)為具有無(wú)后效性的多段決策過(guò)程。,K后部子過(guò)程,多段決策過(guò)程中從第k階段到最終階段的過(guò)程稱(chēng)為k-后部子過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)k-子過(guò)程。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型,Opt表示求優(yōu)Xk是一個(gè)集合，表示k階段狀態(tài)可能取值的范圍，稱(chēng)為狀態(tài)可能集合。Uk是一個(gè)集合，表示k階段決策可能取值的范圍，稱(chēng)為決策允許集合，一般來(lái)說(shuō)對(duì)于不同狀態(tài)，可以作的決策的范圍是不同的。因此決策允許集合一般寫(xiě)為Uk

3、(xk)。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的建模,動(dòng)態(tài)規(guī)劃建模①確定階段與階段變量②明確狀態(tài)變量和狀態(tài)可能集合。③確定決策變量和決策允許集合。④確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。⑤明確階段效應(yīng)和目標(biāo)。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的建模,①確定階段與階段變量階段的劃分一般是按照決策進(jìn)行的時(shí)間或空間上的先后順序劃分的，階段數(shù)等于多段決策過(guò)程中從開(kāi)始到結(jié)束所需要作出決策的數(shù)目，階段變量用k表示。②明確狀態(tài)變量和狀態(tài)可能集合。狀態(tài)變量必須包含在給定的階段上確定全部允許決策所需要的信息

4、。狀態(tài)變量的確定決定了整個(gè)決策過(guò)程是不是具有無(wú)后效性，因而也決定著能不能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)求解。狀態(tài)可能集是關(guān)于狀態(tài)的約束條件，因此為了求解必須正確地確定狀態(tài)可能集。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的建模,③確定決策變量和決策允許集合。與靜態(tài)問(wèn)題相同，決策變量應(yīng)能夠反映對(duì)問(wèn)題所作的決策，決策變量也應(yīng)有其相應(yīng)的約束條件，在建模時(shí)應(yīng)明確決策允許集合Uk(xk)。④確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。系統(tǒng)k階段從狀態(tài)xk出發(fā)作了決策uk(xk)之后的結(jié)果之一是系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，這

5、一結(jié)果直接影響系統(tǒng)往后的決策過(guò)程，因此必須明確狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過(guò)程，即根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在關(guān)系，明確xk+1=Tk(xk,uk)中的函數(shù)Tk（ ）。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃的建模,⑤明確階段效應(yīng)和目標(biāo)。階段效應(yīng)rk(xk,uk)是在階段k以xk出發(fā)作了決策uk之后所產(chǎn)生的后果，必須明確rk與xk，uk的關(guān)系，才能構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)是由階段效應(yīng)經(jīng)過(guò)某種集結(jié)而得到的，如何集結(jié)視具體問(wèn)題而定，同時(shí)還應(yīng)根據(jù)問(wèn)題確定目標(biāo)是求最大還是最小。由于在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的大多數(shù)

6、情況下，目標(biāo)的集結(jié)方法都是求和，因此，在不作說(shuō)明的情況下，往后的討論都針對(duì)目標(biāo)為和的形式進(jìn)行。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃解的概念,多段決策過(guò)程中所要求解的是，從起始狀態(tài)x1開(kāi)始，進(jìn)行一系列的決策，使目標(biāo)R達(dá)到最優(yōu)最優(yōu)目標(biāo)值 R*,最優(yōu)策略 使得目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的決策序列。,最優(yōu)路線 在采取最優(yōu)策略時(shí)，系統(tǒng)從x1開(kāi)始所經(jīng)過(guò)的狀態(tài)序列,求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型 找到最優(yōu)策略、最優(yōu)路線和最優(yōu)目標(biāo)值。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理,多段決策過(guò)程的

7、特點(diǎn) 每個(gè)階段都要進(jìn)行決策 相繼進(jìn)行的階段決策構(gòu)成的決策序列 前一階段的終止?fàn)顟B(tài)又是后一階段的初始狀態(tài)階段最優(yōu)決策不能只從本階段的效應(yīng)出發(fā)，必須通盤(pán)考慮，整體規(guī)劃。階段k的最優(yōu)決策不應(yīng)該只是本階段效應(yīng)的最優(yōu)，而必須是本階段及其所有后續(xù)階段的總體最優(yōu)，即關(guān)于整個(gè)k后部子過(guò)程的最優(yōu)決策。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理,最優(yōu)性原理 “最優(yōu)策略具有的基本性質(zhì)是：無(wú)論初始狀態(tài)和初始決策如何，對(duì)于前面決策所造成的某一狀態(tài)而

8、言，下余的決策序列必構(gòu)成最優(yōu)策略”。,,動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理,最優(yōu)性原理的含意 最優(yōu)策略的任何一部分子策略，也是相應(yīng)初始狀態(tài)的最優(yōu)策略。 每個(gè)最優(yōu)策略只能由最優(yōu)子策略構(gòu)成。顯然，對(duì)于具有無(wú)后效性的多段決策過(guò)程而言，如果按照k后部子過(guò)程最優(yōu)的原則來(lái)求各階段狀態(tài)的最優(yōu)決策，那么這樣構(gòu)成的最優(yōu)決策序列或策略一定具有最優(yōu)性原理所提示的性質(zhì)。,貝爾曼函數(shù),貝爾曼函數(shù)fk(xk)： 在階段k從初始狀態(tài)

9、xk出發(fā)，執(zhí)行最優(yōu)決策序列或策略，到達(dá)過(guò)程終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)k-子過(guò)程中的目標(biāo)函數(shù)取值，稱(chēng)為條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，亦稱(chēng)貝爾曼函數(shù)。,條件最優(yōu)策略 多段決策過(guò)程的任一階段狀態(tài)xk的最優(yōu)策略 處于條件xk時(shí)的最優(yōu)策略。條件最優(yōu)決策 構(gòu)成條件最優(yōu)策略的決策,貝爾曼函數(shù),條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值fk(xk) 執(zhí)行條件最優(yōu)策略時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值,條件最優(yōu)路線 執(zhí)行條件最優(yōu)策略時(shí)的階段狀態(tài)序列

10、,貝爾曼函數(shù),條件最優(yōu)k-子策略 系統(tǒng)從xk出發(fā)，在k-后部子過(guò)程中的最優(yōu)策略k-子過(guò)程條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù) fk(xk)是從xk出發(fā)系統(tǒng)在k-后部子過(guò)程中的最優(yōu)目標(biāo)值，多段決策問(wèn)題所求解的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值 R*=opt f1(x1*)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程 fk(xk)與fk＋1(xk＋1)之間的遞推關(guān)系動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的依據(jù)是最優(yōu)性原理,動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程,設(shè)在階段k的狀

11、態(tài)xk執(zhí)行了任意選定決策uk后的狀態(tài)是xk+1=Tk(xk,uk)。這時(shí)k-后部子過(guò)程就縮小為k+1后部子過(guò)程。根據(jù)最優(yōu)性原理，對(duì)k+1后部子過(guò)程應(yīng)采取最優(yōu)策略，由于無(wú)后效性，k后部子過(guò)程的目標(biāo)函數(shù)值為,動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程,動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程,動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法基本原理,動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法基本原理,rk(xk, uk)和xk+1=Tk(xk, uk)都是已知的函數(shù)求fk(xk)需要首先求關(guān)于xk的所有k+1段狀態(tài)xk+1的fk+1(xk+1)逆序地

12、求出條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合狀態(tài)xk+1是由前面階段的狀態(tài)決定的用問(wèn)題給定的初始條件，即可順序地求出整個(gè)多段決策問(wèn)題的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值、最優(yōu)策略和最優(yōu)路線。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,逆序地求出條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合k=n時(shí)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程是,邊界條件,k=n時(shí)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程成為,動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,逆序地求出條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合k=n－1時(shí)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程

13、是,所有的fn(xn)都已經(jīng)求出，因此可以根據(jù)xn=Tn-1(xn-1,un-1)就階段n-1每個(gè)可能狀態(tài)xn-1∈Xn-1求條件最優(yōu)決策及相應(yīng)的條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值fn－1(xn－1),動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,逆序地求出條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合k=1時(shí)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是,所有的f2(x2)都已經(jīng)求出，因此可以根據(jù)x2=T1(x1,u1)就階段1每個(gè)可能狀態(tài)x1∈X1求條件最優(yōu)決策及相應(yīng)的條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值f

14、1(x1),動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,逆序地求出條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合,,動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,順序地求出最優(yōu)目標(biāo)值、最優(yōu)策略和最優(yōu)路線若x1已知，則,階段1的條件最優(yōu)決策就是階段1的關(guān)于整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)決策若x1未知,,,動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題求解的一般步驟,順序地求出最優(yōu)目標(biāo)值、最優(yōu)策略和最優(yōu)路線,,,,,,,,動(dòng)態(tài)規(guī)劃四大要素、一個(gè)方程,五個(gè)關(guān)鍵因素 四大要素、一個(gè)方程：①狀態(tài)變量及其可能集合②決策變量

15、及其允許集合③狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程④階段效應(yīng)⑤動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程：,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,例4－1 某旅行者希望從s地起到t地，其間的道路系統(tǒng)如圖4－7所示，圖上圓圈表示途徑的地方，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，連結(jié)兩地的箭線表示道路，其上的數(shù)字表示該段道路長(zhǎng)度，箭頭表示通行的方向。試求s到t的最短路。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,第一階段 第二階段 第三階段劃分階段 k=1,2,3 代表

16、三個(gè)階段,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,狀態(tài)變量xk取為k階段所在地，則有：,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,k階段決策是決定下一步走到哪里，uk(xk)取為下一步的所在點(diǎn)。,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集由于第3階段末已到達(dá)t，往后的距離自然是零，因此f4(t)=0對(duì)3階段所有可能的狀態(tài)X3={d, e, f}計(jì)算f3( )如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條

17、件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集也可以用表格方法計(jì)算如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集對(duì)2階段所有可能的狀態(tài)X2={a, b, c}計(jì)算f2( )如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集對(duì)2階段所有可能的狀態(tài)X2={a, b, c}計(jì)算f2( )如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)

18、用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集也可以用表格方法計(jì)算如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集對(duì)1階段所有可能的狀態(tài)X1={s}計(jì)算f1( )如下,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,順序求最優(yōu)策略、最優(yōu)路線和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值,,,,,,,,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----定步數(shù)問(wèn)題,逆序求

19、條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)集和條件最優(yōu)決策集,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----不定步數(shù)問(wèn)題,例4－2,用f(i)表示I節(jié)點(diǎn)到t節(jié)點(diǎn)的最短距離，則根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，應(yīng)該有：,動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用舉例----不定步數(shù)問(wèn)題,例4－2,可用迭代的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)求解。迭代可以針對(duì)f( )來(lái)進(jìn)行，稱(chēng)為函數(shù)迭代法也可以針對(duì)策略{u(i)}(i=s, a, b, c, d)進(jìn)行，稱(chēng)為策略迭代法,不定步數(shù)問(wèn)題----函數(shù)迭代法,函數(shù)迭代法步驟選定一初始函數(shù)f1(i),,然后用

20、遞推關(guān)系求{fk(i)},,fk(i)為從i點(diǎn)出發(fā)走k步到t的最短距離 ，若對(duì)于某個(gè)k，有fk+1(i)=fk(i)，對(duì)所有節(jié)點(diǎn)i成立，則fk( )即為條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，求解結(jié)束。 否則重復(fù)上述過(guò)程，直至最優(yōu)。,不定步數(shù)問(wèn)題----函數(shù)迭代法,例4－2,取,不定步數(shù)問(wèn)題----函數(shù)迭代法,例4－2,不定步數(shù)問(wèn)題----函數(shù)迭代法,例4－2,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,策略迭代法步驟： 1 給每個(gè)點(diǎn)i選擇一個(gè)下一步到達(dá)的點(diǎn)u0(

21、i)，i=s, a, b, c, d 取k=0,2 由,算出fk(i),3 由,解出,則已經(jīng)最優(yōu),否則繼續(xù)計(jì)算,若,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,例4－2,取,,,,,,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,例4－2,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,例4－2,,,,,,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,不定步數(shù)問(wèn)題----策略迭代法,資源分配問(wèn)題,資源的多元分配 設(shè)有某種資源，總量為M，可以投入n種生產(chǎn)活動(dòng)。已知用于活動(dòng)k的資源為uk

22、時(shí)的收益是gk(uk)，問(wèn)應(yīng)如何分配資源，使n種生產(chǎn)活動(dòng)的總收益最大。這種問(wèn)題就是資源的多元分配問(wèn)題。,資源分配問(wèn)題,資源的多元分配 如果將n種活動(dòng)作為一個(gè)互相銜接的整體，對(duì)一種活動(dòng)的資源分配作為一個(gè)階段，每個(gè)階段確定對(duì)一種活動(dòng)的資源投放量。則該問(wèn)題成為一個(gè)多段決策問(wèn)題。狀態(tài)變量xk的選取原則是要能夠據(jù)此確定決策uk，以及滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程所要求的無(wú)后效性。在資源分配問(wèn)題中，決策變量選為對(duì)活動(dòng)k的資源投放量，因此狀態(tài)變量可以選擇為階

23、段k初所擁有的資源量，即將要在第k種到第n種活動(dòng)間分配的資源量。,資源的多元分配,關(guān)于狀態(tài)變量xk的約束條件是 0≤xk≤M關(guān)于決策變量uk的約束條件是 0≤uk≤xk 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為 xk+1=xk-uk 顯然它滿足無(wú)后效性要求。階段效應(yīng)為對(duì)活動(dòng)k投放資源uk時(shí)的收益， rk(xk, uk)=gk(uk)目標(biāo)函數(shù)是為n種活動(dòng)投放資源后的總收益動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程,資源的多元分配,例4－

24、3 某公司擬將50萬(wàn)元資金投放下屬A、B、C三個(gè)部門(mén)，各部門(mén)在獲得資金后的收益如表所示，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求總收益最大的投資分配方案（投資數(shù)以10萬(wàn)元為單位）。,資源的多元分配,解 該問(wèn)題可以作為三段決策過(guò)程。對(duì)A、B、C三個(gè)部門(mén)分配資金分別形成1，2，3三個(gè)階段。xk表示給部門(mén)k分配資金時(shí)擁有的資金數(shù)。uk表示給部門(mén)k分配的資金數(shù)（以10萬(wàn)元為單位）。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是xk+1=xk-uk。階段效應(yīng)如表所示。目標(biāo)函數(shù)是階段效應(yīng)求和。,資源

25、的多元分配,首先逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。,從表可知g3( )是單調(diào)遞增的函數(shù)，因此，當(dāng)u3=x3時(shí)達(dá)到最大。即：,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。k=2時(shí)，0≤x2≤5 0≤u2≤x2,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決

26、策集合。k=2時(shí)，0≤x2≤5 0≤u2≤x2,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。當(dāng)k=1時(shí)，有x1=5，0≤u1≤x1=5,資源的多元分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值集合和條件最優(yōu)決策集合。當(dāng)k=1時(shí)，有x1=5，0≤u1≤x1=5,資源的多元分配,順序求最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值和最優(yōu)策略、最優(yōu)路線,,,,,,,,,資源的多段分配,將一種有消耗性的資源，多階段地在多種不同的生產(chǎn)活動(dòng)中投放的問(wèn)題稱(chēng)為資源的多

27、段分配問(wèn)題，下面討論其中包含有兩個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)的簡(jiǎn)單情況。設(shè)有某種資源，初始的擁有量是M。計(jì)劃在A，B兩個(gè)生產(chǎn)部門(mén)連續(xù)使用n個(gè)階段。已知在部門(mén)A投入資源uA時(shí)的階段收益是g(uA)，在部門(mén)B投入資源uB時(shí)的階段收益是h(uB)。又資源在生產(chǎn)中將有部分消耗，已知每生產(chǎn)一個(gè)階段后部門(mén)A，B中的資源完好率分別為a和b，0<(a, b)<1。求n階段間總收益最大的資源分配計(jì)劃。,資源的多段分配,n段決策過(guò)程狀態(tài)變量xk為階段k初擁有

28、的資源量，0≤xk≤M，x1=M決策變量選為階段k在部門(mén)A的資源投放量，即uA=uk，這里顯然有uB=xk- uk，決策變量的約束條件是 0≤uk≤xk即最多將所擁有的資源都投入部門(mén)A，其時(shí)uB=0階段k末部站A的剩余資源auk，部門(mén)B中則為b(xk-uk)，因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程xk+1=T(xk, uk)是 xk+1=auk+b(xk-uk) 滿足無(wú)后效性階段效應(yīng)rk(xk, uk)即階段收益rk(xk, uk)=g(uk

29、)+h(xk-uk)目標(biāo)函數(shù)是n個(gè)階段的總收益，即階段效應(yīng)求和。,資源的多段分配,例4－4 今有1000臺(tái)機(jī)床，要投放到A、B兩個(gè)生產(chǎn)部門(mén)，計(jì)劃連續(xù)使用3年。已知對(duì)A部門(mén)投入uA臺(tái)機(jī)器時(shí)的年收益是g(uA)=4(uA)2（元），機(jī)器完好率a=0.5，相應(yīng)的B部門(mén)的年收益是h(uB)=2(uB)2 （元），完好率b= 0.9。試求使3年間總收益最大的年度機(jī)器分配方案。 解 以每年作為一個(gè)階段，設(shè)狀態(tài)變量和決策變量都是連續(xù)取值的。

30、K階段狀態(tài)變量xk取為該年度初完好的設(shè)備數(shù)，決策變量取為該年度投入A活動(dòng)的設(shè)備數(shù)，則有 0≤xk≤1000， 0≤uk≤xk狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：xk+1=0.5uk+0.9(xk-uk),資源的多段分配,例4－4解 以每年作為一個(gè)階段，設(shè)狀態(tài)變量和決策變量都是連續(xù)取值的。K階段狀態(tài)變量xk取為該年度初完好的設(shè)備數(shù)，決策變量取為該年度投入A活動(dòng)的設(shè)備數(shù)，則有 0≤xk≤1000，

31、 0≤uk≤xk狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：xk+1=0.5uk+0.9(xk-uk)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程,資源的多段分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值fk(xk)和條件最優(yōu)決策k=3時(shí)，0≤u3≤x3，注意到f4(x4)=0，有,k=2時(shí)，0≤u2≤x2，有,資源的多段分配,逆序求條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值fk(xk)和條件最優(yōu)決策k=1時(shí)，0≤u1≤x1，x2=0.5u1+0.9(x1-u1)，f2(x2),,,,,,,,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,系統(tǒng)

32、可靠性是指系統(tǒng)在規(guī)定的條件下能正常工作的概率，它是管理和工程技術(shù)設(shè)計(jì)中經(jīng)常要研究的問(wèn)題。這兒要研究的是串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題。例如某種儀器設(shè)備由N個(gè)部件串聯(lián)構(gòu)成，凡其中有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，則整個(gè)系統(tǒng)便不能正常工作。為了提高系統(tǒng)工作的可靠性，一種方法是可以在每個(gè)部件上裝有主要元件的相同性能的備用件，并且?guī)в袀溆迷詣?dòng)投入裝置。自然備用元件越多，系統(tǒng)的可靠性越高，但也會(huì)相應(yīng)增加系統(tǒng)重量、體積和費(fèi)用，有時(shí)也會(huì)降低工作精度。因此，在成本、

33、重量、體積等一定的條件限制下，應(yīng)如何選擇各部件的備用元件數(shù)，使得整個(gè)系統(tǒng)的可靠性最大，就可以歸結(jié)為一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5 某電氣設(shè)備由三個(gè)部件串聯(lián)而成，為提高該種設(shè)備在指定工作條件下正常工作的可靠性，需在每個(gè)部件上安裝一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)主要元件的相同備件。假設(shè)對(duì)部件i(i=1，2，3)配備j個(gè)備件后的可靠性Rij和所需費(fèi)用cij均已知，如表所示，若可用的總資金數(shù)量為1萬(wàn)元，問(wèn)如何配備各部件的備用元件數(shù)，才能使該

34、設(shè)備在給定工作條件下的可靠性最大？,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5 解 以給不同的部件決定備件作為不同的階段，則該問(wèn)題是3階段決策問(wèn)題設(shè)狀態(tài)變量xk表示從第k個(gè)部件到第3個(gè)部件允許使用的總費(fèi)用（k=1,2,3）決策變量uk為第k部件配備的備用元件數(shù)（k=1，2，3）。則據(jù)題意有：x1=10千元，且每個(gè)部件都最少有一個(gè)備件，即uk≥1，若令sk表示為保障以后各部件均能獲得一個(gè)備件所需的資金數(shù)，則應(yīng)有：,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5

35、,且據(jù)此可得：s1=6，s2=5，s3=2。從而可知：對(duì)uk有,即當(dāng)期所耗資金加上k+1期往后所用資金sk+1不超過(guò)當(dāng)前擁有資金數(shù)。,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5,根據(jù)上述分析可以寫(xiě)出各階段的狀態(tài)可能集合和決策允許集合如下： x1=10 X2＝{9，7，5} X3＝{2，3，4，5，6} U1＝{1，2，3}U2(9)＝{1，2，3} U2(7)＝{1，2

36、} U2(5)＝{1} U3(2)＝{1} U3(3)＝{1，2} U3(4)＝{1，2，3} U3(5)＝{1，2，3} U3(6)＝{1，2，3},串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：,階段效應(yīng)為,目標(biāo)函數(shù)為是階段效應(yīng)乘積的形式,若以fk(xk)表示在階段k擁有資金xk時(shí)采用最優(yōu)決策序列所得的k階段往后的系統(tǒng)的可靠性，則動(dòng)態(tài)規(guī)劃基

37、本方程為：,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5,串聯(lián)系統(tǒng)可靠性問(wèn)題,例4－5,,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題,生產(chǎn)計(jì)劃周期分為n個(gè)階段，即k=1~n；已知最初庫(kù)存量為x1；階段需求量為dk；單位產(chǎn)品的消耗費(fèi)用為L(zhǎng)k；單位產(chǎn)品的階段庫(kù)存費(fèi)用為hk；倉(cāng)庫(kù)容量為Mk；階段生產(chǎn)能力為Bk；生產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)用為：,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題,問(wèn)應(yīng)如何安排各階段產(chǎn)量，使計(jì)劃期總費(fèi)用最小。這里狀態(tài)變量xk應(yīng)選為階段k的初始庫(kù)存量，計(jì)劃初期的庫(kù)

38、存量x1是已知的，末期的庫(kù)存量通常也是給定的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)這里假定xn+1=0，于是問(wèn)題是始端末端固定的問(wèn)題。關(guān)于狀態(tài)xk的約束條件是,即階段k的庫(kù)存既不能超過(guò)庫(kù)存容量，也不應(yīng)超過(guò)階段k至階段n的需求總量（dk+dk+1+…+dn），否則將與xn+1=0的假設(shè)相違背。,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題,決策變量uk選為階段k的生產(chǎn)量。階段產(chǎn)量要在不超過(guò)生產(chǎn)能力Bk的條件下，充分滿足該階段的需求dk，同時(shí)還要滿足計(jì)劃末期的庫(kù)存量為0的要求。因此關(guān)于決策變量的

39、約束條件就是,期末庫(kù)存=期初庫(kù)存+生產(chǎn)量-本期需求,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題,階段k的生產(chǎn)費(fèi)用是,庫(kù)存費(fèi)用按階段k末期的庫(kù)存量xk+1計(jì)算,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,例4－5 求解生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題。已知其n=3，ck=8，Lk=2，hk=1.5，x1=1，Mk=4，x4=0（計(jì)劃周期末期的庫(kù)存量為0），Bk＝6，d1=3，d2=4，d3=3。,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,例4－5 求解生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題。已知其n=3，ck=8，Lk=2，hk=1.5，x1=1，

40、Mk=4，x4=0（計(jì)劃周期末期的庫(kù)存量為0），Bk＝6，d1=3，d2=4，d3=3。,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,例4－5 求解生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題。已知其n=3，ck=8，Lk=2，hk=1.5，x1=1，Mk=4，x4=0（計(jì)劃周期末期的庫(kù)存量為0），Bk＝6，d1=3，d2=4，d3=3。,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,,,,,,,,生產(chǎn)－庫(kù)存問(wèn)題舉例,,,,,,,,,,,,,,二維背包問(wèn)題,背包問(wèn)題的特征類(lèi)

41、似于往旅行背包里面裝用品的問(wèn)題，要求在旅行袋容積和／或載重量的限制下，所裝物品的總價(jià)值最大。這一類(lèi)問(wèn)題在海運(yùn)、航運(yùn)以及航天等領(lǐng)域都有應(yīng)用。若只考慮重量或體積限制，則稱(chēng)為一維背包問(wèn)題，若同時(shí)考慮重量和體積限制，則稱(chēng)為二維背包問(wèn)題?？紤]有N種物品需要裝船。第i種物品單位的重量為ωi，單件體積為υi，而價(jià)值為pi。最大的裝載重量為W，最大體積為V?，F(xiàn)在要確定在不超過(guò)船的最大載重量和最大體積（不考慮貨物形狀）的條件下，使所載物品價(jià)值最大的裝

42、載方案。,二維背包問(wèn)題,例4－6 已知貨物的單位重量ωi，單位體積υi及價(jià)值pi如表所示，船的最大載重能力為W＝5，最大裝載體積為V＝8，求最優(yōu)裝載方案。,二維背包問(wèn)題,例4－6 W＝5，V＝8,解 該問(wèn)題中有三種物品需要裝載，因此可以作為三段決策問(wèn)題，每階段為一個(gè)物品決定裝船的數(shù)量。k階段系統(tǒng)的狀態(tài)為在給第k物品決定裝載數(shù)量時(shí)，船上還剩余的載重能力xk和剩余體積yk，因此狀態(tài)變量是二維的，記為（xk, yk）。

43、 有0≤xk≤5， 0≤yk≤8決策變量uk表示裝載第k種物品的數(shù)量。,二維背包問(wèn)題,例4－6 W＝5，V＝8,解 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： xk+1=xk-uk·ωk yk+1=yk-uk·υk階段效應(yīng)為 rk(xk, yk, uk)=pk·uk各階段的狀態(tài)可能集與決策允許集為：,二維背包問(wèn)題,解 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： xk+1=xk-uk·

44、ωk yk+1=yk-uk·υk,二維背包問(wèn)題,解 當(dāng)k＝3時(shí)，由f4(x4, y4)=0,二維背包問(wèn)題,解 當(dāng)k＝2時(shí)，由f3(x3, y3)已知,二維背包問(wèn)題,解 當(dāng)k＝1時(shí)，W=5,V=8,,,,,,,,設(shè)備更新問(wèn)題,設(shè)備更新問(wèn)題的一般提法隨著使用年限的增加，設(shè)備性能會(huì)變差，故障會(huì)增加，需要維修或更新。設(shè)備使用時(shí)間愈長(zhǎng)，積累效益愈高，但隨著設(shè)備陳舊，維修使用費(fèi)用也會(huì)提高，而且，設(shè)備使用年限

45、愈久，處理價(jià)格愈低，更新費(fèi)用也要增加。因此，處于某個(gè)階段的各種設(shè)備，總是面臨著保留還是更新的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該從整個(gè)計(jì)劃期間的總回收額，而不應(yīng)從局部的某個(gè)階段的回收額來(lái)考慮。由于每個(gè)階段都面臨著保留還是更新的兩種選擇，因此，它是一個(gè)多階段的決策過(guò)程，可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。,設(shè)備更新問(wèn)題,今有一設(shè)備更新問(wèn)題如下：已知 n為計(jì)算設(shè)備回收額的總期數(shù)； t為某個(gè)階段的設(shè)備役齡； γ(t)為從役齡為t的設(shè)備得到的

46、階段收益； μ(t)為役齡為t的設(shè)備的階段使用費(fèi)用； s(t)是役齡為t的設(shè)備的處理價(jià)格； p為新設(shè)備的購(gòu)置價(jià)格；求n期內(nèi)使回收額最大的設(shè)備更新政策。,設(shè)備更新問(wèn)題,狀態(tài)變量選為設(shè)備的役齡t，即xk=t，決策只有兩種可能，即保留或更新，記為K（保留）或P（更新）。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,相應(yīng)的階段效應(yīng)即階段的回收額也有兩種可能,設(shè)備更新問(wèn)題,例4－7 假定n＝6年，新設(shè)備購(gòu)買(mǎi)價(jià)格為10萬(wàn)元。役齡為t時(shí)