連續(xù)函數(shù)壓縮映射問(wèn)題的討論

1、連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)壓縮壓縮映射映射問(wèn)題問(wèn)題的討論討論摘要本文從課本上一個(gè)例題出發(fā)引出不動(dòng)點(diǎn)原理，首先介紹了不動(dòng)點(diǎn)原理在數(shù)學(xué)分析課程中的重要應(yīng)用如數(shù)列極限問(wèn)題等，并指出了應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)原理時(shí)所使用的技巧和方法.。其次給出其在方程組求解，數(shù)學(xué)建模來(lái)等方面的例子說(shuō)明不動(dòng)點(diǎn)原理的廣泛應(yīng)用，以及其在范函分析中更加一般的形式。最后通過(guò)介紹其在圖像處理，導(dǎo)航系統(tǒng)及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用來(lái)闡明創(chuàng)新思想的重要性，進(jìn)一步開拓學(xué)生的思路讓學(xué)生有更多的想像空間。關(guān)鍵字：關(guān)鍵

2、字：不動(dòng)點(diǎn)連續(xù)函數(shù)函數(shù)方程數(shù)列極限；應(yīng)用引言：引言：在數(shù)學(xué)分析中我們會(huì)遇到證明某些函數(shù)方程在指定的區(qū)間內(nèi)有實(shí)根或判定某些遞推數(shù)列存在極限等問(wèn)題，下例便是一個(gè)比較典型的：例1設(shè)把區(qū)間映射成并且存在使得對(duì)于任意)(xfy?][ba][ba10??q有則][21baxx?2121)()(xxqxfxf???(1)內(nèi)存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)滿足][bax)(xfx?(2)對(duì)任意初始值迭代序列收斂于][0bax?)(1nnxfx??x(3).0111xx

3、qqxxxxqxxnnnn????????證明：證明：(1)存在性：由條件知函數(shù)在上連續(xù)。構(gòu)造函數(shù)2121)()(xxqxfxf???][ba顯然它也在上連續(xù)，且滿足：xxfxg??)()(][ba，。0)()(???aafag0)()(???bbfbg由連續(xù)函數(shù)的介值性定理知必存在一點(diǎn)滿足即。][bax?0)(?xg)(xxf?唯一性：假設(shè)存在兩點(diǎn)滿足：，，則由已知條件有21xx11)(xxf?22)(xxf?.矛盾.21212121

4、)()(xxxxqxfxfxx???????(2)1121)()(xxqxxqxxqxfxfxxnnnnn?????????????由知.10??qlimxxnn???(3)由0121211)()(xxqxxqxxqxfxfxxnnnnnnnnn???????????????知01111)(xxqqxxxxxxnpnnnpnpnnpn???????????????????式，下面介紹用不動(dòng)點(diǎn)法求通項(xiàng)公式的遞推數(shù)列，首先我們給出如下定理：

5、定理定理1：若數(shù)列滿足，若其遞推函數(shù)na)1(1????ABABAaann且且且且且且有不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列。BAxxf??)(ABx??100xan?A證明：證明：由為不動(dòng)點(diǎn)知，所以有0xBAxx??00.AxaBAxBAaxaxBAaxaxannnnnn?????????????0000001顯然結(jié)論成立。例4.數(shù)列滿足求數(shù)列通項(xiàng)。na232111?????naaann解：其遞推函數(shù)為解得不動(dòng)點(diǎn).由為公比為的等比數(shù)列3

6、2)(??xxf3??x3?na2且其首項(xiàng)為所以通項(xiàng)為.4na321???nna當(dāng)函數(shù)在上可導(dǎo)時(shí)，根據(jù)微分中值定理我們有如下結(jié)論：)(xf][ba推論推論3：若函數(shù)在上可導(dǎo)且，是一個(gè)壓縮映射。)(xf][ba1)(?xf)(xf證明：對(duì)任意的當(dāng)時(shí)都有，，][bayx?yx?yxyxfyfxf?????)()()(?則顯然是一個(gè)壓縮映像。)(xf例5.設(shè)，證明收斂并求其極限.)(21011nnnxaxxaxa?????nx證明：證明：設(shè)，

7、則易知axxaxxf???)(21)()[))([?????aaf且，所以有唯一不動(dòng)點(diǎn)，易的。121121)(2????xaxf)(xf0xax?0所以極限為.nxa二、二、不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用如果函數(shù)在是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性定理可知：)(xf][ba推論推論4.若函數(shù)在連續(xù)且滿足，則在至少有一個(gè)不)(xf][ba][])([babaf?)(xf][ba動(dòng)點(diǎn)。例6.日常生活中會(huì)有這樣的